Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Содержание

Умножение. Свойства умножения

📌Произведением числа a на натуральное число b не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно а:

📌Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

m•1=m;
1•m=m

📌Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

📌Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

a⋅b=0 ⇒ a=0 или b=0

Умножение обыкновенных дробей

📌Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

📌Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

📌Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Умножение рациональных чисел

📌Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».

📌Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

✅ Для любого рационального числа a:

a⋅(-1)=-a

✅ Если произведение  a • b >0, то числа a и b имеют одинаковые знаки:
🔍Оба положительные, или
🔍Оба отрицательные.

✅Если произведение a • b<0, то числа a и b имеют раз­ные знаки:

🔍Одно положительное, другое — отрицательное

Деление обыкновенных дробей

📌Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

Деление рациональных чисел

📌Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».

📌Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Нахождение дроби от числа

📌Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

📌Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби

📌Чтобы найти число по его дроби, делим значение части на эту дробь.

Найдём число, если известно, что его дробь составляет 15.

📌Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

Найти число, если известно, что

Степень числа

📌Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, на­зывают произведение n множителей, каждый из которых равен a :

Число a при этом называют основанием степени, n — показателем степени

Если показатель 1 , то

✅Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись читают: «a в квадрате».
✅Третью степень называют кубом числа, а запись читают: «a в кубе».

✅Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем производят другие действия.

Найти значение выражения:

Расставим порядок действий и найдем значение:

Числовые и буквенные выражения

📌Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.

📌Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

Приведение подобных слагаемых

📌 Подобные слагаемые — это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.
Чтобы их привести, нужно:
🔍Сложить коэффициенты (числа перед буквами),
🔍Умножить результат на общую буквенную часть.

Раскрытие скобок

📌 Раскрытие скобок перед знаком «–»

Если перед скобками стоит знак минус (–), то при раскрытии скобок:
🔍Знак минус опускается,
🔍Все знаки внутри скобок меняются на противоположные.
💡 То есть: −(a+b)=−a−b; −(a−b)=−a+b

📌 Раскрытие скобок перед знаком «+»

Если перед скобками стоит знак минус (+), то при раскрытии скобок:
🔍Знак плюс опускается,
🔍Все знаки внутри скобок остаются без изменений.
💡 То есть: +(a-b)=a-b; +(a+b)=a+b

Свойства уравнений

✅Если (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

✅Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.

✅Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

✅Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Решение линейных уравнений

Отношения

📌Частное двух чисел a и b, b≠0, еще называют от­ношением чисел a и b, или отношением числа a к числу b:

📌Отношение положительных чисел a и b показывает, во сколько раз число a больше числа b, или какую часть число a составляет от числа b.

Пусть a = 10,  b = 2
Отношение показывает, что число 10 в 5 раз больше числа 2, или что число 2 в 5 раз меньше числа 10.

📌Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.

Пропорции

📌Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

Числа a и d называют крайними членами пропорции, а чис­ла b и c — средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции

📌Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Если a, b, c и d числа, не равные нулю, и a • d = b • c , то отношения

могут образовывать пропорцию

Это верная пропорция.
Чтобы проверить её, воспользуемся основным свойством пропорции:
✅ Произведение внешних членов равно произведению внутренних членов или  по правилу «крест-накрест» («правило креста»).

Внешние: 2 и 9 Внутренние: 3 и 6.
Проверим:2⋅9=18,3⋅6=18 → 18 = 18 → пропорция верна.
🔁 Из одной пропорции можно составить ещё три верные:

💡 Эти пропорции получаются путём перестановки членов (по правилу  «крест-накрест»)

Процентное отношение двух чисел

📌Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
✅Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Найдём, сколько процентов составляет число 5 от числа 20
Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого в процентах, нужно:
🔍Разделить меньшее число на большее,
🔍Умножить результат на 100%.
🎯Ответ: Число 5 — это 25% от числа 20

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

📌Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

📌Если величины y и x обратно пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству

,  где  k -число, постоянное для данных величин.

Формула скорости: ,где V — скорость (в км/ч), S — путь (в км), t — время (в часах).
🔁 Обратная пропорциональность: Скорость и время — обратно пропорциональны, если путь постоянный:
✅ Чем выше скорость — тем меньше времени нужно на путь. Чем ниже скорость — тем больше времени требуется.
Пусть путь S = 100 км.
Случай 1: время t = 2 ч
V = 100:2 = 50(км/ч)- за 2 часа при скорости 50 км/ч проедем 100 км.
Случай 2: время t=5 ч
V = 100:5 = 20(км/ч)- при скорости 20 км/ч на тот же путь уйдёт 5 часов.
🎯 Вывод:
При постоянном пути: скорость и время обратно пропорциональны.
Если время увеличивается в n раз — скорость уменьшается в n раз

Правила и определения опираются  на  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир.  Примеры составлены мной (Косыхина Н.В.)