Правила из курса математики 5 класса — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

5 Класс

1

Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.

Сравнение натуральных чисел

  • Число 0 меньше любого натурального числа.
  • Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр большим является то, у которого количество цифр больше.
  • Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр.

Свойства сложения

Переместительный закон: а + b = b + а. Сочетательный закон: (а + b) + с = а + (b + с)

Формула пути

S = ⱱt, где s — пройденный путь, ⱱ — скорость движения, t — время, за которое пройден путь s.

Корень уравнения

Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.

Решение уравнений

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

2

Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)

Свойство длины отрезка

Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.

Равные отрезки

Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство прямой

Через две точки проходит только одна прямая.

Измерить отрезок

Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается

Ломаная

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом

Луч

Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

Угол

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Равные углы

Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.

Биссектриса угла

Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Свойство величины угла

Если между сторонами угла ABC провести луч BD, то градусная мера угла ABC равна сумме градусных мер углов ABD и DBC, то есть ∠ABC = ∠ABD+ ∠DBC.

Развернутый угол

Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.

Прямой угол

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

Острый угол

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

Тупой угол

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

Равные многоугольники

Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.

Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Разносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника

Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его периметр Р вычисляют по формуле Р = 3а.

Прямоугольник

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

Свойство прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Периметр прямоугольника

Если соседние стороны прямоугольника равны а и b, то его периметр Р вычисляют по формуле Р = 2а + 2 b.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Периметр квадрата

Если сторона квадрата равна а, то его периметр Р вычисляют по формуле Р = 4а.

3

Умножение

• Произведением числа а на натуральное число b, которое не равно 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждый из которых равен а.

• В равенства а ∙ b = с числа а и b называют множителями, а число с и запись а ∙ b — произведением.

• Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю.

• Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

• Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Свойства умножения

• Переместительный закон умножения: ab = bа.

• Сочетательный закон умножения: (ab) с = а (bс).

• Распределительное свойство умножения относительно сложения:

a (b + с) = ab + ас.

• Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

а (b — с) = аb — ас.

Деление

• Для натуральных чисел а, b и с равенство а : b = с является правильным, если является правильным равенство b ∙ с = а.

• В равенстве а : b = с число а называют делимым, число b — делителем, число с и запись a : b — частным от деления, отношением, долей.

• На ноль делить нельзя.

• Для любого натурального числа а правильными являются равенства: 0:а = 0; а:а=1; а:1 = а.

Деление с остатком

• а = bq + г, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, r < b.

• Если остаток равен нулю, то говорят, что число а делится нацело на число b.

Свойства площади фигуры

1) Равные фигуры имеют равные площади;

2) площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, выраженных в одних и тех же единицах.

Площадь квадрата

S = а*a( a в квадрате), где S — площадь квадрата, а — длина его стороны.

Свойства объема фигуры

1) Равные фигуры имеют равные объемы;

2) объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Объем прямоугольного параллелепипеда

V = abc, где V — объем параллелепипеда, а, b и с — его измерения, выраженные в одних и тех же единицах;

V = Sh, где S — площадь основания параллелепипеда, h — его высота.

Объем куба

V= a^{3},  где V — объем куба, а — длина его ребра.

4

Правильный дробь

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной

Неправильная дробь

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

Сравнение дробей

• Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше.

• Из двух дробей с одинаковыми числительнями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.

• Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.

• Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

• Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

• Чтобы найти разницу двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

Сложение и вычитание смешанных чисел

• Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.

• Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель; полученный неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь — нужно целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.

5

Свойства десятичной дроби

• Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.

• Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

Сравнение десятичных дробей

• Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

• Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Округление десятичных дробей

Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из цифр, которые отвергают равна 0, 1, 2, или 4, то последнюю из цифр, которые оставляют, не меняют; если же первая из цифр, которые отвергают, равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю из цифр, которые оставляют, увеличивают на единицу.

Сложение десятичных дробей

Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно:

1) уравнять количество цифр после запятых;

2) записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;

3) сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;

4) поставить в полученной сумме запятую под запятыми.

Вычитание десятичных дробей

Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:

1) уравнять количество цифр после запятых;

2) записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;

3) выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа;

4) поставить в полученной разности запятую под запятыми

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;

2) в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.<.span>

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.<.span>

Деление десятичных дробей

• Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

1) перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;

2) выполнить деление на натуральное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют результат деления сумму этих чисел на количество слагаемых.

Процент

Процентом  называют сотую часть величины или числа.