Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство.

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение.Через каждую вершину данного треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник  .

Из построения следует, что четырехугольники  и   -параллелограммы. Отсюда . Следовательно, точка является серединой отрезка  .

Так как прямые и параллельны, то высота треугольника перпендикулярна отрезку . Следовательно, прямая — серединный перпендикуляр стороны треугольника . Аналогично можно доказать, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника , являются серединными перпендикулярами сторон  и   треугольника .

Так как серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Что и т.д.