Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Доказательство.
Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Решение.Через каждую вершину данного треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник
.
Из построения следует, что четырехугольники и
-параллелограммы. Отсюда
. Следовательно, точка
является серединой отрезка
.
Так как прямые и
параллельны, то высота
треугольника
перпендикулярна отрезку
. Следовательно, прямая
— серединный перпендикуляр стороны
треугольника
. Аналогично можно доказать, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника
, являются серединными перпендикулярами сторон
и
треугольника
.
Так как серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Что и т.д.