Параграф 3. Задача 11

На сторонах параллелограмма ABCD отметили точки M, E, F и K так, чмо AM = AK = CE = CF. Докажите, что четырехугольник MEFK — параллелограмм.
Дано:
ABCD — параллелограмм,
AM = AK = CE = CF.
Доказать:
MEFK — параллелограмм.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники MAK и ECF:
AM = AK = CE = CF (по условию), ∠A = ∠C как противолежащие углы параллелограмма ABCD.
Следовательно, Δ MAK = Δ ECF по первому признаку равенства треугольников. Значит, MK = EF.
Рассмотрим треугольники MBE и KDF:
MB = AB — AM и DF = DC — FC.
Так как AB = DC (противолежащие стороны параллелограмма ABCD) и AM = FC, то MB = FD.
Аналогично, BE = KD.
∠B = ∠D как противолежащие углы параллелограмма ABCD.
Следовательно, Δ MBE = Δ KDF по первому признаку равенства треугольников. Значит, ME = KF.
Имеем, в четырёхугольнике MEFK каждые две противолежащие стороны равны, MEFK — параллелограмм что и т.д.