Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Главная › 7 Класс Алгебра › Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Содержание

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Линейное уравнение
Одночлены и многочлены
Формулы сокращенного умножения
Степень. Свойства степени с целым показателем
Функция. Область определения и область значений функции
Линейная функция, её график и свойства
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства

Корень уравнения

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.

2 x + 6 = 36 x = 15 — к о р е н ь у р а в н е н и я, п о с к о л ь к у 2 \cdot 15 + 6 = 36 36 = 36 — в е р н о е р а в е н с т в о . 5 x — 5 x = 100 — н е и м е е т к о р н е й, п о с к о л ь к у x \overset{\overset{0}{∥}}{(5 — 5)} = 100 0 = 100 — н е в е р н о .

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

2 x — 5 = 5 \underset{р а в н о с и л ь н о}{\equiv} 4 x — 10 = 10, п о с к о л ь к у x = 5 к о р е н ь и д л я 1 — г о, и д л я 2 — г о у р а в н е н и я .

Свойства уравнений

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

\begin{array}{rcl} 2 x — 5 & = & 7 + 5 \\ 2 x — 5 + 5 & = & 7 + 5 \\ 2 x & = & 12 \\ x & = & 12 : 2 \\ x & = & 6 \end{array}

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2 x \overset{+ 5 \to}{— 5 =} 7 2 x = 7 + 5 2 x = 12 x = 12 : 2 x = 6

Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

\begin{array}{rcl} 12 x & = & 24 : 12 \\ 12 x : 12 & = & 24 : 12 \\ x & = & 2 . \\ \frac{x}{5} & = & 3 \cdot 5 \\ \frac{x}{5} \cdot 5 & = & 3 \cdot 5 \\ x & = & 15 \end{array}

Линейное уравнение

Уравнение вида $ax = b$ , где $x$ — переменная, $a$ и $b$ некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения $a$ и $b$	$a \ne 0$	$a = 0, b = 0$	$a = 0, b \ne 0$
Корни уравнения $ax=b$	$x = \frac{b}{a}$	$x$ -любое число	корней нет

2 x = 0, 5 y — 3 = 12 — л и н е й н ы е у р а в н е н и я x^{2} — 4 = 0, \frac{5}{x} = 8 — н е л и н е й н ы е у р а в н е н и я

Одночлены и многочлены

Одночлены

Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.

2 x, 3 \frac{5}{6} x^{2} y, 0, 2 a^{20}, b, 15 — о д н о ч л е н ы .

Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.

2 x, 3 \frac{5}{6} x^{2} y, 0, 2 a^{20} — о д н о ч л е н ы с т а н д а р т н о г о в и д а .

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

2 x, 3 \frac{5}{6} x^{2} y, 0, 2 a^{20} . 2, 3 \frac{5}{6}, 0, 2 — к о э ф ф и ц и е н т ы .

Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

2 x^{2} y^{3} z, — 15 x^{2} y^{3} z, 0, 5 x^{2} y^{3} z — п о д о б н ы е . 2 x^{2} y^{3} z и 2 x^{2} y^{3} — н е п о д о б н ы е .

Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.

2 x + 3 x^{2} y

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

2 x + 3 x^{2} y — м н о г о ч л е н; 2 x и 3 x^{2} y — е г о о д н о ч л е н ы

Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

$a^2- b^2 = (a - b)(a + b)$

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

$(a - b)(a + b)= a^2- b^2$

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:
$(a - b)^2= a^2 - 2ab + b^2$

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$

Многочлен $a^2 +ab + b^2$ называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Многочлен $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого $a \ne 0$ и любых целых $m, n$ выполняются равенства:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$a^m \div a^n = a^{m - n}$
$(a^m )^n = a^{mn}$

Для любых $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и любого целого $n$ выполняются равенства:

$(ab)^n = a^n b^n$

$(\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}$

$a^{0}=1$

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной пeременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают $x$ , зависимую обозначают $y$ , функцию(правило) — $f$ .
Независимую переменную $x$ называют аргументом функции. Значение зависимой переменной $y$ называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают $y=f(x)$ .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

Функцию, которую можно задать формулой вида $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — некоторые числа, $x$ — независимая переменная, называют линейной.
Графиком линейной функции является прямая.
Линейную функцию, заданную формулой $y=kx$ , где $k \ne 0$ , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.

Данная информация взята из УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир