Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс

Многоугольник

• Многоугольник — геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная
• Выпуклый многоугольник— многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, которая проходит через 2 его смежные вершины
• Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющие 2 несоседние вершины
• Формула суммы углов -угольника
  , — число вершин(сторон)

Параллелограмм

• Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойства параллелограмма

• В параллелограмме противоположные стороны равныдоказательство
• В параллелограмме противоположные углы равны доказательство
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам доказательство

Признаки параллелограмма

• Если в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм
• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм

Трапеция

• Трапеция  — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны — не параллельны
• Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции
• Не параллельные стороны называются боковыми сторонами
• Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны
• Трапеция прямоугольная, у которой одна боковая сторона, перпендикулярна основаниям

Прямоугольник

• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника

• Диагонали прямоугольника равны

Признаки прямоугольника

• Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник
• Если в параллелограмме есть хотя бы 1 прямой угол, то этот параллелограмм прямоугольник

Ромб

• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны

Свойства ромба

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов

Признаки ромба

• Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
• Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой его угла

Квадрат

• Квадрат прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойства квадрата

• Все углы квадрата прямые
• Диагонали квадрата равны, взаимно-перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов

Симметрия

• Две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему
• Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметрична ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры
• Две точки называются симметричными относительно точки О, если О середина отрезка
• Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Площади

• Высота треугольника -перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника(основание)
• Высота параллелограмма -перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание
• Равные многоугольники имеют равные площади
• Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание
• Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
• Площадь квадрата равна квадрату его стороны

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

• Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

$S=\frac{1}{2}ab$

• Площадь треугольника равна половине произведения  двух сторон на синус угла между ними

$S=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$

• Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

$S=pr$

• Площадь треугольника равна частному произведения его сторон к  радиусу описанной окружности, умноженному на 4

$S=\frac{abc}{4R}$

• Формула Герона

$S=\sqrt{p(p—a)(p—b)(p—c)}$

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

• Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

• Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основания на высоту

Прямоугольный треугольник

• Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

• Теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
• Пифагоровы тройки: треугольники со сторонами 3,4,5; 6,8,10 и т.д
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой
  
• Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенуз и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой проведенной из вершины прямого угла
  
  

Подобие

• Подобные треугольники -это треугольники, у которых углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
• Коэффициент подобия — это число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников
• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Признаки подобия треугольников

• Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
• Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны
• Третий признак подобия треугольников:если три стороны одного треугольника пропорциональным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Средняя линия треугольника.

• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
  

Некоторые свойства геометрических фигур

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники
• Теорема Фалеса Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на них равные отрезки
• Пропорциональные отрезки Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки

Окружность

• Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
• Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу

• Формула длины окружности

$С=2\pi r$

• Формула площади круга

$S=\pi r^2$

Окружность и треугольник

• В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения биссектрис треугольника
• Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Вписанный четырехугольник

• Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.
• Свойство четырехугольника, вписанного в окружность : Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
• Признак четырехугольника, который можно вписать в окружность : Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около четырехугольника можно описать окружность.

Описанный четырехугольник

• Описанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов.
• Свойство четырехугольника, описанного около окружности : Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
• Признак четырехугольника, в который можно вписать окружность: Если у четырехугольника сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в него можно вписать окружность.
• Признак принадлежности четырех точек одной окружности: Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то около этого четырёхугольник можно описать окружность.