Правила математики из курса 5-6 классов — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

6 Класс

1.Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

\frac{a}{b} = \frac{a\cdot n}{b\cdot n}

Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

\frac{a: n}{b: n} =\frac{a}{b}

2.Сокращение дробей

  • Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.
  • Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.
  • Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

3.Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

  1. найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
  2. найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до­полнительный множитель.

4. Целые числа. Рациональные числа

  • Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.
  • Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.
  • Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.
  • Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа:

5. Модуль числа

  • Модулем числа a называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.
  • Модуль числа а обозначают так: | а | (читают: «модуль а»).
  • Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отри­цательного числа равен числу, противоположному данному;

| 0 | = 0.

\left | a \right | = \left\{\begin{matrix} \\\begin{matrix} a, a\geq 0\\ -a, a< 0 \end{matrix} \end{matrix}\right.

  • Модуль числа принимает только неотрицательные значения.
  • Модули противоположных чисел равны: | а | = | -а |.

6. Сложение. Свойства сложения

  • Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат сложения — суммой.
  • От перестановки слагаемых сумма не изменяется:

а + b = b + а — переместительное свойство сложения.

  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел:

(a+ b) + с = а + (b + с) — сочетательное свойство сложения.

7. Вычитание. Свойства вычитания

  • Из числа а число b — значит найти такое число, которое в сумме с числом b дает число а.
  • Равенство а-b = с верно, если верно равенство b + с = а.
  • В равенстве а-b = с число а называют уменьшаемым, b — вы­читаемым, с — разностью.
  • Разность а-b показывает, на сколько число а больше чис­ла b или на сколько число b меньше числа а.
  • Для любого числа а верны равенства:

а-0= а, а-а = 0

8. Сложение и вычитание дробей

  • Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
  • Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменате­лями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычи­таемого, а знаменатель оставить тот же.
  • Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить пра­вило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

9. Сложение рациональных чисел

  • Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
  1. найти модули слагаемых;

  2. из большего модуля вычесть меньший модуль;

  3. перед полученным числом поставить знак слагаемого с боль­шим модулем.

  • Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
  1. найти модули слагаемых;
  2. сложить модули слагаемых;
  3. перед полученным числом поставить знак «-».
  • Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Для любого рационального числа а:

а + 0 = 0 + а = а.

10. Вычитание рациональных чисел

  • Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому при­бавить число, противоположное вычитаемому.

11. Умножение. Свойства умножения

  • Произведением числа а на натуральное число b не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно а:

\begin{matrix} a\cdot b \end{matrix}= \begin{matrix} \underbrace{a+a+a+...+a}\\ b \end{matrix}

 

  • Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

m\cdot 1 = 1\cdot m = m

  • Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

m\cdot 0 = 0\cdot m = 0

  •  Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
  • От перестановки множителей произведение не изменяется:

аb = bа — переместительное свойство умножения.

  • Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, мож­но первое число умножить на произведение второго и третьего чисел:

(аb)с = а(bс) — сочетательное свойство умножения.

  • Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить: а (b + с) = аb + ас — распределительное свойство умножения относительно сложения.
  • Чтобы число умножить на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое, отдельно на вычитаемое и  полученные произведения вычесть: а (b — с) = аb — ас — распределительное свойство умножения относительно вычитания.

 

12. Умножение обыкновенных дробей

  • Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

\frac{a}{b}\cdot n = \frac{a\cdot n}{b}

Считают, что \frac{a}{b}\cdot 0=0\cdot \frac{a}{b}=0.

  • Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

  • Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

13. Умножение рациональных чисел

  • Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».
  • Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.
  • Для любого рационального числа а:

a\cdot \left ( -1 \right )=-a

a\cdot \left ( -1 \right )=-a

  • Если произведение аb — положительное, то числа а и b имеют одинаковые знаки;

          если произведение аb — отрицательное, то числа а и b имеют раз­ные знаки.

14. Деление. Свойства деления

  • Разделить число а на число b — значит найти такое число, про­изведение которого с числом b равно а.
  • Равенство а:b=с верно, если верно равенство b\cdotс = а.
  • В равенстве а:b = с число а называют делимым, число b — де­лителем, число с — частным.
  • При любых значениях а верно равенство

     a : 1 = а.

  • Если а не равно 0, то справедливы такие равенства:

0\div a = 0

a\div a = 1

На нуль делить нельзя!

15. Делимость натуральных чисел

  • Если натуральное число а делится нацело на натуральное чис­ло b, то число а называют кратным числа b, число b — делителем числа а.
  • Для любого натурального числа а каждое из чисел  а • 1, а • 2, а • 3, а • 4, … является кратным числа а.
  • Наименьшим делителем любого натурального числа а является число 1, а наибольшим — само число а.
  • Среди чисел, кратных а, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число а.
  • Если каждое из чисел а и b делится нацело на число k, то и сумма а + k также делится нацело на число k.
  • Если число а делится нацело на число к, а число b не делится на­цело на число к, то сумма а + b также не делится нацело на число к.
  • Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.
  • Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.
  • Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
  • Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

16. Признаки делимости натуральных чисел

  • Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.
  • Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.
  • Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.
  • Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.
  • Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
  • Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.
  • Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.
  • Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.
  • Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
  • Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.
  • Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

17. Деление с остатком

  • Остаток всегда меньше делителя.
  • Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.

а=bq +r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — оста­ток, r < b.

18. Деление обыкновенных дробей

  • Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

\frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}

19. Деление рациональных чисел

  • Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».
  • Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

20. Нахождение дроби от числа

  • Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.
  • Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

21. Нахождение числа по его дроби

  • Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь.
  • Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

22. Степень числа

  • Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, на­зывают произведение п множителей, каждый из которых равен а:a^{n}=\begin{matrix} \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}\\ n \end{matrix}

Число а при этом называют основанием степени.

  • Степенью числа а с показателем 1 называют само число a

a^{1}=a

  • Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись a^{2}  читают: «а в квадрате». Третью степень называют кубом числа, а запись a^{3} читают: «а в кубе».
  • Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем другие действия.

23. Числовые и буквенные выражения

  • Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.
  • Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

24. Раскрытие скобок

  • Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные.
  • Если перед скобками стоит знак « + », тотпри раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений.

25. Приведение подобных слагаемых

  • Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици­енты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

26. Формулы

  • Равенства вида у = 3x, Р=2(а + b)  называют формулами.
  • Равенство S=Vt , где S — пройденный путь, V — скорость движе­ния,t — время, за которое пройден путь S, называют формулой пути.

27. Уравнения

  • Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
  • Решить уравнение — значит найти все его корни или убедить­ся, что их вообще нет. Поэтому корень часто называют решением уравнения.
  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
  • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.
  • Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
  • Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

28. Свойства уравнений

  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
  • Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

29. Отношения

  • Частное двух чисел а и b, не равных нулю, еще называют от­ношением чисел а и b, или отношением числа а к числу b.
  • Числа а и b называют членами отношения, число а — предыду­щим членом отношения, а число b — последующим.
  • Отношение положительных чисел а и b показывает, во сколько раз число а больше числа b, или какую часть число а составляет от числа b.
  • Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.

30. Пропорции

  • Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

a: d = b:c  или  \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

Числа а и d называют крайними членами пропорции, а чис­ла b и с — средними членами пропорции.

31. Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\Rightarrow ad = bc

Если a, b, c и d числа, не равные нулю, и ab = cd, то отношение  \frac{a}{b}  и  \frac{c}{d}  и могут образовывать пропорцию \frac{a}{b} = \frac{c}{d}

32. Процентное отношение двух чисел

  • Процентное отношение двух чисел — это их отношение, вы­раженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
  • Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отно­шение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

33. Прямая пропорциональная зависимость

  • Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
  • Если величины у и х прямо пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству \frac{y}{x} =k , где k -число, постоянное для данных величин.

Данная информация взята  из Учебника «Алгебра 7 класс» А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир