Основные правила математики. 8 класс алгебра

Главная › 8 Класс Алгебра › Основные правила математики. 8 класс алгебра

Содержание

Рациональные выражения
Тождественно равные выражения. Тождества
Основное свойство рациональной дроби
Степень. Свойства степени с натуральным показателем
Степень. Степень с целым отрицательным показателем
Степень. Свойства степени с целым показателем
Стандартный вид числа
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Свойства арифметического квадратного корня
Квадратные уравнения
Теорема Виета
Теорема, обратная теореме Виета
Квадратный трёхчлен
Множество. Операции над множествами

Рациональные выражения

Целые и дробные выражения вместе образуют рациональные выражения.
Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Тождественно равные выражения. Тождества

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, тождественно не равный нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Степень. Свойства степени с натуральным показателем

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ , большим 1, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

$a^n = \underbrace {aaa \ldots a}_n,n > 1,n \in N$

Число $a$ при этом называют основанием степени.

Степенью числа $a$ с показателем 1 называют само число $a$

$a^{1}=a$
[ads2]

Степень. Степень с целым отрицательным показателем

Для любого числа $а$ , не равного нулю, и натурального числа $n$
$a^{ - n} = \frac{1} {{a^n }}$

Для любого числа $а$ , не равного нулю, $a^0 = 1$ .

Выражение $0^n$ при целых $n$ , меньших или равных нулю, не имеет смысла.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Для любого $a \ne 0$ и любых целых $m$ , $n$ выполняются равенства:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$a^m \div a^n = a^{m - n}$

$(a^m )^n = a^{mn}$

Для любых $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и любого целого $n$ выполняются равенства:

$(ab)^n = a^n b^n$

$(\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}$

Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a\cdot 10^{n}, 1\leqslant a <10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называют порядком числа, записанного в стандартном виде.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Квадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$ .

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ .

Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначают $\sqrt{a}$

Знак $\sqrt{ }$ называют знаком квадратного корня или радикалом.

Выражение, стоящее под знаком радикала, называют подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Если $\sqrt{a} = b$ , то $b^{2}=a$

Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо, что $\sqrt{a}\geqslant 0$ и $(\sqrt{a})^{2} =a$

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа выполняется равенство

$\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |$

Для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n$ выполняется равенство

$\sqrt{a^{2n} } = \left| {a^n } \right|$

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$ , выполняется равенство

$\sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b$

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ таких, что $a \ge 0$ и $b > 0$ , выполняется равенство

$\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Для любых неотрицательных чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1$ > $a_2$ выполняется неравенство

$\sqrt {a_1 } > \sqrt {a_2 }$
[ads2]

Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0$ ,

где $x$ — переменная, $a, b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a \ne 0$ .

Выражение $b^2 - 4ac$
называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой $D$ ,т.е.

$D = b^2 - 4ac$

Если $D<0$ , то квадратное уравнение корней не имеет.
Если $D=0$ , то квадратное уравнение имеет один корень $x=-\frac{b}{2a}$
Если $D>0$ . то квадратное уравнение имеет два корня:

$x_2 = \frac{{ - b + \sqrt {b^2 - 4ac} }} {{2a}}$
Применяют короткую форму записи:

$x_{1,2} = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }} {{2a}}$

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения

$ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 + x_2 = - \frac{b} {a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c} {a}$

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ , то

$x_1 + x_2 = - b$ и $x_1 \cdot x_2 = c$

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа $\alpha +\beta =-b$ и $\alpha \beta =c$ , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$

где $x$ — переменная, $a, b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a \ne 0$ .

Число $D$ = $b^2 - 4ac$ называют дискриминантом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$

Если дискриминант квадратного трёхчлена положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: $a(x - x_1 )(x - x_2 )$
, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена.

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, т.е. $x_1=x_2$ . В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1 )^2$
Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Множество. Операции над множествами

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества.

Множество можно задать:

перечислением, записав его элементы в фигурных скобках через запятую;
указанием характеристического свойства элементов множества, т. е. свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Если $a$ принадлежит множеству $A$ , то пишут $a \in A$ . Если $a$ не принадлежит множеству $A$ , то пишут $a \notin A$

Два множества $A$ и $B$ называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. каждый элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$ и наоборот, каждый элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$ .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом $\dpi{100} \large \O$ .

Множество $B$ называют подмножеством множества $A$ , если каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$ .

Пересечением множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству $A$ , и множеству $B$ .

Объединением множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству $A$ , или множеству $B$ .