Главная › 8 Класс Алгебра › Основные правила математики. 8 класс алгебра

Основные правила математики. 8 класс алгебра

Содержание

Рациональные выражения
Тождественно равные выражения. Тождества
Основное свойство рациональной дроби
Степень. Свойства степени с натуральным показателем
Степень. Степень с целым отрицательным показателем
Степень. Свойства степени с целым показателем
Стандартный вид числа
Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
Свойства арифметического квадратного корня
Квадратные уравнения
Теорема Виета
Теорема, обратная теореме Виета
Квадратный трёхчлен
Множество. Операции над множествами

Рациональные выражения

📌 Рациональные выражения — это выражения, которые могут содержать:

• Числа,
• Переменные,
• сложение, вычитание, умножение, деление,

Но не содержат корней или степеней с дробными показателями.

Они делятся на:

🔹целые рациональные выражения (2x+3 )
🔹дробные рациональные выражения ()

✅ Рациональные выражения:
5x−2;

❌ Не являются рациональными:

🔎 Допустимыми значениями переменных называют все значения, при которых выражение имеет смысл.

⚠️ Главное правило: На ноль делить нельзя!

Если в знаменателе есть переменная, нужно найти, при каких значениях она не равна нулю.

🔢 Пример 1:

Выражение имеет смысл, если знаменатель ≠ 0.
x−3≠0 ⇒ x≠3
✅ Ответ: допустимые значения — все числа, кроме x=3

🔢 Пример 2:

Знаменатель не должен быть нулём:
x−1≠0 ⇒ x≠1
x+2≠0 ⇒ x≠−2
✅ Ответ: допустимые значения — все числа, кроме x=1 и x=−2

Тождественно равные выражения. Тождества

📌Два выражения называют тождественно равными, если их значения равны при всех допустимых значениях переменных.

2x+3x и 5x
При любом x :
2x+3x=5x → всегда верно!
Значит, эти выражения тождественно равны.

🔹 Что такое тождество?
Тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных.

a+b=b+a — это тождество (переместительное свойство сложения).
$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$ — тоже тождество.

Основное свойство рациональной дроби

📌Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, который не равен нулю,
то получится дробь, тождественно равная исходной

🔁 Что это значит?
✅Чтобы привести к общему знаменателю, можно умножать числитель и знаменатель на одинаковое выражение,
✅Или сократить дробь(обратное действие).

Степень. Свойства степени с натуральным показателем

📌Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a
$a^n = \underbrace {aaa \ldots a}_n,n > 1,n \in N$

🔹 Число a — это основание степени,
🔹 Число n — это показатель степени.

$2^3$ = 2·2·2=8
$(-3)^4$ = (-3)·(-3)·(-3)·(-3)=81

🟦 Степень с показателем 1
Само число a считают степенью с показателем 1:
$a^1 = a$

$7^1 = 7$
$(-2)^1 = -2$

Степень. Степень с целым отрицательным показателем

Если число a≠0, а n — натуральное число, то:

$a^{ - n} = \frac{1} {{a^n }}$

💡 То есть: Отрицательная степень — это дробь с единицей в числителе и положительной степенью в знаменателе.

🟦 Степень с нулевым показателем
Для любого числа а $a^0 = 1$

❌ Выражение $0^n$ при n≤0 не имеет смысла:

Степень. Свойства степени с целым показателем

📌Для любого a≠0 и любых целых чисел m и n выполняются следующие свойства:

🔹Умножение степеней с одинаковым основанием:

🔹 Деление степеней с одинаковым основанием:

🔹Возведение степени в степень:

🟦 Для любых a≠0, b≠0 и целого n :
🔹Возведение произведения в степень:

🔹Возведение частного в степень:

Стандартный вид числа

📌Стандартным видом числа называют его запись в виде:
$a\cdot 10^{n}$ , где

🔹1≤a<10 — число от 1 до 10 (не включая 10),
🔹n — целое число (может быть положительным, отрицательным или нулём).

Число n называют порядком числа.

350=3,5⋅10² → a=3,5 , n=2
0,004=4⋅ $10^{-3}$ → a=4 , n=−3
7=7⋅ $10^{-3}$ → a=7 , n=0
12000=1,2⋅ $10^{4}$ → a=1,2 , n=4

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

🔹 Что такое арифметический квадратный корень?
Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a .
Если $\sqrt{a} = b$ , то $b^{2}=a$
✅ То есть: это только положительное значение (или ноль)
$\sqrt{a}$ — обозначение арифметического квадратного корня

💡Знак $\sqrt{ }$ называют знаком квадратного корня или радикалом.

🔹 Подкоренное выражение
Выражение под знаком корня называют подкоренным выражением.

⚠️ Оно может быть только неотрицательным (то есть ≥ 0), потому что:

нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах.

$\sqrt{9}$ = 3, потому что 3² = 9
$\sqrt{0}$ = 0, потому что 0² = 0
$\sqrt{25}$ = 5 → не −5 , потому что арифметический корень всегда неотрицателен
❌ $\sqrt{-4}$ — не имеет смысла (в действительных числах)

Свойства арифметического квадратного корня

🔹 Свойство 1:

💡 Это означает:

🔹 Свойство 2
Для любого действительного a и натурального n :

💡 Это расширение первого свойства на степени

или этот же пример можно посчитать:

🔹 Свойство 3:
Для любых неотрицательных a и b :

⚠️ Важно: a≥0, b≥0! Иначе выражение может не иметь смысла

🔹 Свойство 4:
Для a≥0, b>0

⚠️ Знаменатель не может быть нулём!

🔹 Свойство 5:

💡 Корень возрастает вместе с числом

Квадратные уравнения

📌Квадратным уравнением называют уравнение вида:
, где:
x — переменная, a , b , c — числа, a≠0 .

💡 Если a=0 , уравнение становится линейным!

🔹 Виды квадратных уравнений:

ТИП	УСЛОВИЕ	ПРИМЕР
Полное	Все коэффициенты ≠ 0	2x²+3x-5=0
Неполное (без b )	b=0	x²-9=0
Неполное (без c )	c=0	x²+4x=0
Неполное (без b и c)	b=0, c=0	3x²=0

🔹 Дискриминант
Выражение D=b²-4ac называют дискриминантом.
Он определяет количество корней:

ЗНАЧЕНИЕ D	КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ	ФОРМУЛА КОРНЕЙ
D<0	Нет корней	—
D=0	Один корень
D>0	Два корня

🔢 Рассмотрим примеры:

✅ Пример 1. Полное уравнение
x²-5x+6=0
a=1, b=-5, c=6
D=b²-4ac=(-5)²-4·1·6=25-24=1>0

Ответ: x=2, x=3.
💡 a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0,

✅ Пример 2. Неполное уравнение (без b )
x²-16=0
Перенесем: x²=16
x=±4
Ответ: x=-4, x=4
💡 Это случай b = 0

✅ Пример 3: Неполное уравнение (без c )
x²+5x=0
Вынесем x: x(x+5)=0
x=0 или x+5=0
x=0 или x=-5
Ответ: x=0, x=-5
💡 Это случай c = 0

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения

$ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 + x_2 = - \frac{b} {a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c} {a}$

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ , то

$x_1 + x_2 = - b$ и $x_1 \cdot x_2 = c$

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа $\alpha +\beta =-b$ и $\alpha \beta =c$ , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$

где $x$ — переменная, $a, b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a \ne 0$ .

Число $D$ = $b^2 - 4ac$ называют дискриминантом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$

Если дискриминант квадратного трёхчлена положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: $a(x - x_1 )(x - x_2 )$
, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена.

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, т.е. $x_1=x_2$ . В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1 )^2$
Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Множество. Операции над множествами

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества.

Множество можно задать:

перечислением, записав его элементы в фигурных скобках через запятую;
указанием характеристического свойства элементов множества, т. е. свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Если $a$ принадлежит множеству $A$ , то пишут $a \in A$ . Если $a$ не принадлежит множеству $A$ , то пишут $a \notin A$

Два множества $A$ и $B$ называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. каждый элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$ и наоборот, каждый элемент множества $B$ принадлежит множеству $A$ .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом $\dpi{100} \large \O$ .

Множество $B$ называют подмножеством множества $A$ , если каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$ .

Пересечением множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству $A$ , и множеству $B$ .

Объединением множеств $A$ и $B$ называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству $A$ , или множеству $B$ .