Основные правила математики. 8 класс алгебра — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики. 8 класс алгебра

Содержание

Рациональные выражения

Целые и дробные выражения вместе образуют рациональные выражения.
Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Тождественно равные выражения. Тождества

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же многочлен, тождественно не равный нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Степень. Свойства степени с натуральным показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, на­зывают произведение n множителей, каждый из которых равен a :

a^n = \underbrace {aaa \ldots a}_n,n > 1,n \in N

Число a при этом называют основанием степени.

Степенью числа a с показателем 1 называют само число a

\dpi{100} \large a^{1}=a

Степень. Степень с целым отрицательным показателем

Для любого числа а, не равного нулю, и натурального числа \dpi{100} \large n

\dpi{100} \large a^{ - n} = \frac{1} {{a^n }}

Для любого числа а, не равного нулю, a^0 = 1 .

Выражение   0^n при целых n, меньших или равных нулю, не имеет смысла.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Для любого a \ne 0  и любых целых m, n выполняются равенства:

\dpi{100} \large a^m \cdot a^n = a^{m + n}

\dpi{100} \large a^m \div a^n = a^{m - n}

\dpi{100} \large (a^m )^n = a^{mn}

Для любых a \ne 0, b \ne 0 и любого целого  n выполняются равенства:

\dpi{100} \large (ab)^n = a^n b^n

\dpi{100} \large (\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}

Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения  \dpi{100} \large a\cdot 10^{n}, 1\leqslant a <10 и \dpi{100} \large n — целое число. Число \dpi{100} \large n называют порядком числа, записанного в стандартном виде.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

Арифметическим квадратным корнем из числа \dpi{100} \large a называют неотрицательное число, квадрат которого равен \dpi{100} \large a.

Арифметический квадратный корень из числа \dpi{100} \large a обозначают  \dpi{100} \large \sqrt{a}

Знак  \dpi{100} \large «\dpi{100} \large \dpi{100} \large \sqrt{ } «называют знаком квадратного корня или радикалом.

Выражение, стоящее под знаком радикала, называют подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Если \dpi{100} \large \sqrt{a} = b, то \dpi{100} \large b\geqslant 0, b^{2}=a

Для любого неотрицательного числа \dpi{100} \large a  справедливо, что \dpi{100} \large \sqrt{a}\geqslant 0 и \dpi{100} \large (\sqrt{a})^{2} =a

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа выполняется равенство

\dpi{100} \large \sqrt{a^{2}}=\left | a \right |

Для любого действительного числа a и натурального числа n  выполняется равенство

\dpi{100} \large \sqrt {a^{2n} } = \left| {a^n } \right|

Для любых действительных чисел a и b таких, что a \ge 0 и b \ge 0 выполняется равенство

\dpi{100} \large \sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b

Для любых действительных чисел a и b таких, что a \ge 0 и  b > 0 ,  выполняется равенство

\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}

Для любых неотрицательных чисел  a_1  и a_2 таких, что a_1  > a_2  выполняется неравенство

\dpi{100} \large \sqrt {a_1 } > \sqrt {a_2 }

Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида 

\dpi{100} \large ax^2 + bx + c = 0  ,

где  xпеременная, a, b и c — некоторые числа, причём a \ne 0.

Выражение  b^2 - 4ac
называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой D ,
т.е.

D = b^2 - 4ac

  • Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет.
  • Если  D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \dpi{100} \large x=-\frac{b}{2a}
  • Если D>0. то квадратное уравнение имеет два корня:

\dpi{100} \large x_1 = \frac{{ - b - \sqrt {b^2 - 4ac} }} {{2a}}   и \dpi{100} \large x_2 = \frac{{ - b + \sqrt {b^2 - 4ac} }} {{2a}}

Применяют короткую форму записи:

\dpi{100} \large x_{1,2} = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }} {{2a}}

Теорема Виета

Если  x_1  и x_2 — корни квадратного уравнения

\dpi{100} \large ax^2 + bx + c = 0, то

\dpi{100} \large x_1 + x_2 = - \frac{b} {a}, \dpi{100} \large x_1 \cdot x_2 = \frac{c} {a}

Если x_1  и x_2— корни приведённого квадратного уравнения \dpi{100} \large x^2 + bx + c = 0, то

\dpi{100} \large x_1 + x_2 = - b  и \dpi{100} \large x_1 \cdot x_2 = c

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа \dpi{100} \large \alpha ,\beta таковы, что \dpi{100} \large \alpha +\beta =-b и \dpi{100} \large \alpha \beta =c , то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения \dpi{100} \large x^2 + bx + c = 0

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида  ax^2 + bx + c

где  xпеременная, a, b и c — некоторые числа, причём a \ne 0.

Число D = b^2 - 4ac  называют дискриминантом квадратного трёхчлена ax^2 + bx + c

Если дискриминант квадратного трёхчлена положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: a(x - x_1 )(x - x_2 )
, где   x_1  и x_2 — корни квадратного трёхчлена.

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, т.е. x_1=x_2. В этом случае разложение квадратного трёхчлена на множители имеет такой вид:
\dpi{100} \large ax^2 + bx + c = a(x - x_1 )^2

Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Множество. Операции над множествами

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества.

Множество можно задать:

  • перечислением, записав его элементы в фигурных скобках через запятую;
  • указанием характеристического свойства элементов множества, т. е. свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Если a принадлежит множеству  A, то пишут a \in A. Если  a не принадлежит множеству A , то пишут a \notin A

Два множества A и B  называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. каждый элемент множества A принадлежит множеству B и наоборот, каждый элемент множества B принадлежит множеству A .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом \dpi{100} \large \O .

Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент множества  B является элементом множества  A.

Пересечением множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству A , и множеству B .

Объединением множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству A, или множеству B.

Данная информация взята  из  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *