Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1. — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Содержание

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Если натуральное число a  делится нацело на натуральное чис­ло b, то число a называют кратным числа b, число b — делителем числа a.

a : b = целое число12  : 1 =12    12 : 2 = 6  12 : 3 = 4 12 : 4 = 3  12 : 6 = 2  12  : 12 = 1

12 -кратное числам 1, 2, 3, 4, 6, 12.

1, 2, 3, 4, 6, 12 — делители 12.

Для любого натурального числа a  каждое из чисел

a · 1, a · 2, a · 3,...

является кратным числа a.

Число 6. Кратные 6 · 1,   6 · 2,    6 · 3,   6 · 4, …      или по-другому запишем   6,  12,   18,   24, …

Наименьшим делителем любого натурального числа a  является число 1, а наибольшим — само число a.

Число 6. Наименьший делитель: 1.  Наибольший делитель: 6.

Среди чисел, кратных a, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число a.

Число 6. Наименьшее кратное: 6. Наибольшее кратное: нет.

Если каждое из чисел a и b делится нацело на число k,то и сумма a+b также делится нацело на число k.

a = 12, b = 6, k = 3 

12  : 3 = 4 -целое,   6 : 3 = 2 — целое      12 и 6 делятся нацело на 3.

a + b = 12 + 6 =18       18 : 3 = 6-целое.    18  делится нацело на 3.

Если число a  делится нацело на число k,  а число b не делится на­цело на число k , то сумма a+b также не делится нацело на число k.

a = 12, b = 7, k = 3 

12  : 3 = 4 —  целое,   7 : 3 = нецелое число.    7 не делится нацело на 3.

a + b = 12 + 7 =19        19 : 3 = нецелое число.  19 не делится нацело на 3.

 

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.

Числа 2, 3 , 5, 7 — простые. Каждое имеет 2 делителя: 1 и само число.

Числа 4, 6, 8 — составные. Делители 4: 1, 2, 4;               6: 1, 2, 3, 6;                 8: 1, 2, 4, 8   —    делителей больше 2-ух.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 · 3.

Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 · 2 · 2.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Числа 7 и 15. Наибольший общий делитель этих чисел одновременно — это  1.  7 и 15  — взаимно простые.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

100 делится на 10, так как оканчивается на 0.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

Если 17 разделить на 10, то остаток 7.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому  не делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются  на 0 или 5 соответственно.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.

Число 27  не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Число 117.  1 + 1 +7  = 9;   9 : 9 = 1;  9  нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Число 110.  1 + 1 + 0  = 2;   2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Число 57.  5 + 7 = 12;   12 : 3 = 4. 12  нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Число 56.  5 + 6  = 11;   11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.

Разложить числа 12 и 16 на простые множители, представить числа в виде произведения простых множителей:

12631223           1684212222                     12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 316 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24;;  

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

ab = a · nb · n
25=2 · 35 · 3=615

равенство сохраняется.

Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

a : nb : n = ab 
816=8 : 816 : 8=12 

равенство сохраняется.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

924= 9 : 324 : 3=38

  3 — общий делитель чисел 9 и 24.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

38

несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

2436 = 24 : 1236 : 12=23
Есть общие делители чисел 24 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Но число 12 — наибольший общий делитель .

Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.
Разложим на простые множители. Выбираем только те множители, которые есть и в первом, и во втором разложении
12631223           1684212222                     НОД(12,16) = 2 · 2 = 4;   Или другая запись: представим в виде произведения простых множителей12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ;     НОД(12,16) = 2 · 2 = 4

Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16.Разложим числа на простые множители. Выпишем разложение первого числа. Дополним числами из разложения второго числа без повторений

12631223           1684212222                     НОК(12,16) = 2 · 2 · 3· 2 · 2 = 24 · 3 = 48;  

Другая запись : представим в виде произведения простых множителей

 12 = 2 · 2 · 3 ;16 = 2 · 2 · 2 · 2 ;     НОК(12,16) =2 · 2 · 3  · 2 · 2 = 48.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

  • найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
  • найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
  • умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до­полнительный множитель.
Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
524 и 136

1. Найти Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 — это число 72( 72 нацело делится и на 24, и на 36)
2. Высчитать дополнительные множители

72 : 24 = 3;72 : 36 = 2.3. 5\324=5 · 324 · 3=1572;1\236=1 ·2 36 · 2=272.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.

Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.

Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.

Модулем числа \dpi{100} \large a называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа \dpi{100} \large a обозначают так:

a

(читают: «модуль a»).
Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отри­цательного числа равен числу, противоположному данному;

a = a, a0a, a<0

Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Модули противоположных чисел равны:

a = a 5 = 5,  5 = (5) = 5 или5 =  5 = 5

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменате­лями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычи­таемого, а знаменатель оставить тот же.

15 + 25 = 1 + 25 = 3567  27 = 6  27 = 47

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить пра­вило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

15 + 25 = 1 + 25 = 3567  27 = 6  27 = 47

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
  • найти модули слагаемых;
  • из большего модуля вычесть меньший модуль;
  • перед полученным числом поставить знак слагаемого с боль­шим модулем.
1717=17+ >1515=15= (17  15) = 2;12 + 15 =15  12 = 3 здесь можно 2ое слагаемое вынести вперед и решить как простой пример на вычитание 
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
  • найти модули слагаемых;
  • сложить модули слагаемых;
  • перед полученным числом поставить знак «-».
 1717=171212=12 = (17 + 12) = 29

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

a+a=0 или aa=0
5 + 5 = 0;5  5 = 0.
a+0 = 0+a = a
7 + 0 = 0 + 7 = 7.
Чтобы найти разность двух чисел можно

к уменьшаемому при­бавить число, противоположное вычитаемому.

15  3 = 15 + (3) = 12.

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Данная информация составлена на базе УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Примеры составлены мной Косыхиной Н.В.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *