Главная › 6 Класс › Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Содержание

Делимость натуральных чисел
Простые и составные числа
Признаки делимости натуральных чисел
Разложение числа на простые множители
Основное свойство дроби
Сокращение дробей
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
Модуль числа
Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание рациональных чисел

👉🚀Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Делимость натуральных чисел

📌Если натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$ , то число $a$ называют кратным числа $b$ , число $b$ — делителем числа $a$ .

Пусть $a$ =12 , а $b$ — число, на которое мы делим.
Если результат деления $a:b$ — целое число, то:
$a$ — кратное числу $b$ , $b$ — делитель числа $a$ .
🔢 Проверим, на какие числа 12 делится без остатка:
12:1=12→ целое число; 12:2=6→ целое число; 12:3=4→ целое число; 12:4=3→ целое число; 12:6=2→ целое число; 12:12=1→ целое число
✅ Вывод:
Число 12 является кратным числам: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 — это все делители числа 12.

📌Для любого натурального числа $a$ каждое из чисел $a*1$ , $a*2$ , $a*3$ ,… является кратным числа $a$ .

Кратные числа 6
Чтобы получить кратные числа 6, умножим 6 на 1, 2, 3, 4 и так далее: 6⋅1=6, 6⋅2=12, 6⋅3=18, 6⋅4=24, 6⋅5=30, …
✅ Получаем ряд кратных: 6, 12, 18, 24, 30, …
Это — числа, кратные 6.
Они делятся на 6 без остатка.

📌Наименьшим делителем любого натурального числа $a$ является число $1$ , а наибольшим — само число $a$ .

Число 6: наименьший делитель 1, наибольший делитель 6.

📌Среди чисел, кратных $a$ , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число $a$ .

Число 6: наименьшее кратное 6, наибольшего кратного нет.

📌Если каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на число $k$ ,то и сумма $a+b$ также делится нацело на число $k$ .

🔢 Пример:
Пусть: a=12, b=6, k=3
Проверим, делятся ли $a$ и $b$ на $k$ : 12:3=4→ целое число, 6:3=2→ целое число
✅ Значит, 12 и 6 делятся нацело на 3.
Теперь найдём сумму: a+b=12+6=18
Проверим, делится ли 18 на 3: 18:3=6→ целое число
✅ Значит, сумма 18 делится нацело на 3.
🎯 Вывод: Если два числа делятся на одно и то же число, то и их сумма тоже делится на это число.

📌Если число $a$ делится нацело на число $k$ , а число $b$ не делится нацело на число $k$ , то сумма $a+b$ также не делится нацело на число $k$ .

🔢 Пример:
Пусть:a=12, b=7, k=3
Проверим, как делятся числа: 12:3=4→ целое число⇒12 делится на 3; 7:3=2,333…→ не целое⇒7 не делится на 3
✅ Значит, одно число делится, другое — нет.
Теперь найдём сумму:a+b=12+7=19
Проверим, делится ли 19 на 3: 19:3=6,333…→ не целое
❌ Значит, 19 не делится нацело на 3.
🎯 Вывод:
Если одно число делится на k , а другое — нет, то их сумма не делится на k .

Простые и составные числа

📌Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.

🔢 Примеры:
Простые числа: 2, 3, 5, 7
2 : делители — 1,2 → всего 2 делителя
3 : делители — 1,3 → всего 2 делителя
5 : делители — 1,5 → всего 2 делителя
7 : делители — 1,7 → всего 2 делителя
💡 Важно! Число 1 — ни простое, ни составное. У него только один делитель — сама единица.
Составные числа: 4, 6, 8
4 : делители — 1,2,4 → три делителя
6 : делители — 1,2,3,6 → четыре делителя
8 : делители — 1,2,4,8 → четыре делителя
✅ Видим: у каждого из них более двух делителей → значит, они составные

📌Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 · 3.

Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 · 2 · 2.

📌Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Числа 7 и 15. Одновременно наибольший общий делитель этих чисел — это 1. 7 и 15 — взаимно простые.

Признаки делимости натуральных чисел

✅ Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

100 делится на 10, так как оканчивается на 0.

✅ Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

✅ Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

Если 17 разделить на 10, то остаток 7.

✅ Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.

✅ Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому не делится на 2.

✅ Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются на 0 или 5 соответственно.

✅ Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.

Число 27 не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.

✅ Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Число 117. 1 + 1 +7 = 9; 9 : 9 = 1; 9 нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.

✅ Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Число 110. 1 + 1 + 0 = 2; 2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.

✅ Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Число 57. 5 + 7 = 12; 12 : 3 = 4. 12 нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.

✅ Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Число 56. 5 + 6 = 11; 11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.

Разложение числа на простые множители

Разложить числа 12 и 16 на простые множители, представить числа в виде произведения простых множителей:

Основное свойство дроби

📌Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

📌Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

Сокращение дробей

📌Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

$\frac{3}{8}$ — несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

📌Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

Есть общие делители чисел 24 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Но число 12 — наибольший общий делитель .

Наибольший общий делитель

Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.
Разложим на простые множители. Выбираем только те множители, которые есть и в первом, и во втором разложении

Или в виде произведения простых множителей:

Наименьшее общее кратное

Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16. Разложим числа на простые множители. Выпишем разложение первого числа. Дополним числами из разложения второго числа без повторений

Другая запись : представим в виде произведения простых множителей

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

🎯Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

✅найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
✅найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
✅умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
$\frac{5}{24}$ и $\frac{1}{36}$

1. Найти Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 — это число 72( 72 нацело делится и на 24, и на 36)
2. Посчитать дополнительные множители

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю(рабочий способ)

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей

$\frac{5}{{24}};\quad \frac{1}{{18}}$

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делится на 24 и 18.

Делаем по шагам:
1️⃣Выберем больший знаменатель. Это число 24. Делим его на меньший знаменатель 18. 24:18=1 (остаток 6) — не делится нацело;
2️⃣Умножаем 24на 2: 24*2=48. Проверяем 48:18 =2 (остаток 12)- не делится нацело.
3️⃣ 24 умножаем на 3: 24*3=72. Проверяем 72:18=4 -делится нацело!
Значит, 72 — это наименьший общий знаменатель.
💡 Важно! Если бы ни одно из произведений не делилось нацело, нужно было бы продолжать умножать 24 на 4, 5, 6 и т.д., пока не получится деление без остатка.
Находим дополнительные множители :
Для первой дроби: 72:24 =3 -дополнительный множитель 3
Для второй дроби: 72:18 =4 -дополнительный множитель 4
✅Приводим дроби к новому знаменателю:

🎯Ответ:

Теперь дроби можно складывать или сравнивать!

Смотри подробнее

Целые числа. Рациональные числа

✅Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

✅Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.

✅Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.

✅Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.

Модуль числа

✅Модулем числа $a$ называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

✅Модуль числа $a$ обозначают так: |a| (читают: «модуль a»).
Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному;

Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Модули противоположных чисел равны.

🔢 Примеры:
1. ∣5∣=5 Расстояние от 5 до 0 равно 5.
2. ∣−5∣=5 Расстояние от –5 до 0 тоже равно 5.
💡 Значит: ∣5∣=∣−5∣=5
🧠 Важно помнить:
∣5∣=5, если число положительное, модуль = само число.
∣−5∣=−(−5)=5, если число отрицательное, модуль = минус(отрицательное число).
❗ Обрати внимание: |−5∣=5 , но не −5 ! Модуль всегда неотрицателен.

Сложение и вычитание дробей

✅Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
✅Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

сложение вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

✅Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

сложение вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных чисел

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

✅найти модули слагаемых;

✅из большего модуля вычесть меньший модуль;

✅перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем.

💡 Полезный приём:
Можно вынести второе слагаемое вперёд и решить как вычитание:
−12+15=15−12=3
Это работает, когда второе слагаемое положительное и его модуль больше.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

✅найти модули слагаемых;

✅сложить модули слагаемых;

✅перед полученным числом поставить знак «-».

📌Сумма двух противоположных чисел равна нулю:
$-a+a = 0$ или $a-a = 0$

-5+5=0 или 5-5=0

$a+0 = 0+a = a$

$17+0 = 0+17 = 17$

Чтобы найти разность двух чисел можно

📌к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

15-3=15+(-3)=12

👉🚀Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Данная информация составлена на базе УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Примеры составлены мной Косыхиной Н.В.