Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Главная › 6 Класс › Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Содержание

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Делимость натуральных чисел
Простые и составные числа
Признаки делимости натуральных чисел
Разложение числа на простые множители
Основное свойство дроби
Сокращение дробей
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Модуль числа
Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание рациональных чисел

Делимость натуральных чисел

Если натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$ , то число $a$ называют кратным числа $b$ , число $b$ — делителем числа $a$ .

a : b = ц е л о е ч и с л о 12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1

12 -кратное числам 1, 2, 3, 4, 6, 12.

1, 2, 3, 4, 6, 12 — делители 12.

Для любого натурального числа $a$ каждое из чисел

$a \cdot 1, a \cdot 2, a \cdot 3, . . .$

является кратным числа $a$ .

Число 6. Кратные 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3, 6 · 4, … или по-другому запишем 6, 12, 18, 24, …

Наименьшим делителем любого натурального числа $a$ является число $1$ , а наибольшим — само число $a$ .

Число 6. Наименьший делитель: 1. Наибольший делитель: 6.

Среди чисел, кратных $a$ , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число $a$ .

Число 6. Наименьшее кратное: 6. Наибольшее кратное: нет.

Если каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на число $k$ ,то и сумма $a+b$ также делится нацело на число $k$ .

a = 12, b = 6, k = 3

12 : 3 = 4 -целое, 6 : 3 = 2 — целое 12 и 6 делятся нацело на 3.

$a$ + $b$ = 12 + 6 =18 18 : 3 = 6-целое. 18 делится нацело на 3.

Если число $a$ делится нацело на число $k$ , а число $b$ не делится нацело на число $k$ , то сумма $a+b$ также не делится нацело на число $k$ .

a = 12, b = 7, k = 3

12 : 3 = 4 — целое, 7 : 3 = нецелое число. 7 не делится нацело на 3.

$a$ + $b$ = 12 + 7 =19 19 : 3 = нецелое число. 19 не делится нацело на 3.

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число.

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называют составным.

Числа 2, 3 , 5, 7 — простые. Каждое имеет 2 делителя: 1 и само число.

Числа 4, 6, 8 — составные. Делители 4: 1, 2, 4; 6: 1, 2, 3, 6; 8: 1, 2, 4, 8 — делителей больше 2-ух.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Число 6. Представим в виде произведения простых чисел: 6 = 2 · 3.

Число 8. Представим в виде произведения простых чисел: 8 = 2 · 2 · 2.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то их называют взаимно простыми.

Числа 7 и 15. Наибольший общий делитель этих чисел одновременно — это 1. 7 и 15 — взаимно простые.

Признаки делимости натуральных чисел

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

100 делится на 10, так как оканчивается на 0.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

17 не делится на 10, так как не оканчивается на 0.

Если натуральное число разделить на 10, то остаток равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

Если 17 разделить на 10, то остаток 7.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Число 18 заканчивается на четную цифру 8, поэтому делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Число 19 заканчивается на нечетную цифру 9, поэтому не делится на 2.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Числа 20 и 35 делятся на 5, так как оканчиваются на 0 или 5 соответственно.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от цифр 0 и 5, то это число не делится нацело на 5.

Число 27 не оканчивается ни на 0, ни на 5, поэтому на 5 не делится.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Число 117. 1 + 1 +7 = 9; 9 : 9 = 1; 9 нацело делится на 9, поэтому 117 делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Число 110. 1 + 1 + 0 = 2; 2 нацело не делится на 9, поэтому 110 не делится на 9.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Число 57. 5 + 7 = 12; 12 : 3 = 4. 12 нацело делится на 4, поэтому 57 делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Число 56. 5 + 6 = 11; 11 нацело не делится на 3, поэтому 56 не делится на 3.

Разложение числа на простые множители

Разложить числа 12 и 16 на простые множители, представить числа в виде произведения простых множителей:

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}

равенство сохраняется.

[ads3]
Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

$\frac{a : n}{b : n} = \frac{a}{b}$

\frac{8}{16} = \frac{8 : 8}{16 : 8} = \frac{1}{2}

равенство сохраняется.

Сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

\frac{9}{24} = \frac{9 : 3}{24 : 3} = \frac{3}{8}

3 — общий делитель чисел 9 и 24.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

\frac{3}{8}

несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}

Есть общие делители чисел 24 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Но число 12 — наибольший общий делитель .

Наибольший общий делитель

Найти наибольший общий делитель чисел 12 и 16.

Разложим на простые множители. Выбираем только те множители, которые есть и в первом, и во втором разложении

$\begin{matrix} 12 \\ 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 16 \\ 8 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} Н О Д (12, 16) = 2 \cdot 2 = 4; \end{matrix} И л и д р у г а я з а п и с ь : п р е д с т а в и м в в и д е п р о и з в е д е н и я п р о с т ы х м н о ж и т е л е й 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3; 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2; Н О Д (12, 16) = 2 \cdot 2 = 4$

Наименьшее общее кратное

Найти наименьшее общее кратное чисел 12 и 16. Разложим числа на простые множители. Выпишем разложение первого числа. Дополним числами из разложения второго числа без повторений

$\begin{matrix} 12 \\ 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 16 \\ 8 \\ 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} Н О К (12, 16) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} \cdot 3 = 48; \end{matrix}$ Другая запись : представим в виде произведения простых множителей

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3; 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2; Н О К (12, 16) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48 .$

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

$\frac{5}{24} и \frac{1}{36}$

1. Найти Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 — это число 72( 72 нацело делится и на 24, и на 36)
2. Посчитать дополнительные множители

72 : 24 = 3; 72 : 36 = 2 . 3 . \frac{5^{\ 3}}{24} = \frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{15}{72}; \frac{1^{\ 2}}{36} = \frac{1 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{2}{72} .

Целые числа. Рациональные числа

Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами.

Натуральные числа называют целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3, … называют целыми отрицательными числами.

Объединив натуральные числа с целыми отрицательными и нулем, получим целые числа.

Объединив целые числа с дробными, получим рациональные числа.

Модуль числа

Модулем числа $a$ называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа < $a$ обозначают так:

$|a|$

(читают: «модуль a»).
Модуль положительного числа равен этому числу; модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному;

$|a| = \{\begin{cases} a, a \geq 0 \\ — a, a < 0 \end{cases}$

Модуль числа принимает только неотрицательные значения. Модули противоположных чисел равны:

|a| = |— a|

|5| = 5, |— 5| = — (— 5) = 5 и л и |5| = |— 5| = 5

Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5} \frac{6}{7} — \frac{2}{7} = \frac{6 — 2}{7} = \frac{4}{7}

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5} \frac{6}{7} — \frac{2}{7} = \frac{6 — 2}{7} = \frac{4}{7}

Сложение и вычитание рациональных чисел

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:

найти модули слагаемых;
из большего модуля вычесть меньший модуль;
перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем.

\overset{|— 17| = 17}{\overset{⏞}{— 17}} \overset{>}{\overset{⏞}{+}} \overset{|15| = 15}{\overset{⏞}{15}} = — (17 — 15) = — 2; — 12 + 15 = 15 — 12 = 3 — з д е с ь м о ж н о 2 о е с л а г а е м о е в ы н е с т и в п е р е д и р е ш и т ь к а к п р о с т о й п р и м е р н а в ы ч и т а н и е

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

найти модули слагаемых;
сложить модули слагаемых;
перед полученным числом поставить знак «-».

\overset{|— 17| = 17}{\overset{⏞}{— 17}} \overset{|— 12| = 12}{\overset{⏞}{— 12}} = — (17 + 12) = — 29

Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

$— a + a = 0 и л и a — a = 0$

— 5 + 5 = 0; 5 — 5 = 0 .

$a + 0 = 0 + a = a$

7 + 0 = 0 + 7 = 7 .

Чтобы найти разность двух чисел можно

к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

15 — 3 = 15 + (— 3) = 12 .

Продолжение: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Данная информация составлена на базе УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Примеры составлены мной Косыхиной Н.В.