Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2. — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 2.

Содержание

Начало: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Умножение. Свойства умножения

Произведением числа a на натуральное число b не равное 1, называют сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно а:

a · b = a +a +a+...+ab

4· 5 =4 + 4 + 4 + 4 + 45

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю:

m · 1 = 1 · m = m
5 · 1 = 5;1 · 5 = 5.

Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

5 · 0 = 0;0 · 5 = 0.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

!Важное правило. Помогает решать уравнения

(x  a)(x  b) = 0;Или  x  a = 0 ,или xb = 0;2 корня x=a и x = b.(x  5)(x +  2) = 0;Или  x  5 = 0 ,или x+ 2 = 0;2 корня x=5 и x = 2.


Умножение обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

ab·n=a·nb
27 · 3=  2 · 37 = 67
Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
ab · cd = a · cb · d
27 · 45 = 2 · 47 · 5 = 835

Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

113 · 235 = 43 · 135 = 5215 = 3715

Умножение рациональных чисел

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-».

55=5 · 15 15=15= (5 · 15) = 75.

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули.

88=8 · (5) 5=5= 8 · 5 = 40.

Для любого рационального числа a:

a · (1) = a
12 · (1) = 12;
Если произведение  ab — положительное, то числа a и b имеют одинаковые знаки;
a = 3  и  b = 2;a · b = 3 · 2 = 6 >0.а =3 и b = 2;a · b = 3 · (2) = 6 >0

Если произведение ab— отрицательное, то числа a и b имеют раз­ные знаки.

a = 3  и  b = 2;a · b = 3 · (2) =6 < 0.а =3 и b = 2;a · b = 3 · 2 = 6 < 0

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

ab : cd = ab · dc

23 : 57 = 23 · 75 = 1415

Деление рациональных чисел

Чтобы найти частное двух чисел с разными знаками, надо мо­дуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «-».

1515=15 · 5 5=5= (15 : 5) = 3

Чтобы найти частное двух отрицательных чисел, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

1818=18 : (3) 3=3= 18 : 3 = 6

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

Найти 0,7 от числа 20:0,7 · 20 = 14.Найти 37 от числа 70:37 · 70 = 30

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Найти 15% от числа 200:15% = 15100;15100 · 200 = 30


Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по значению его дроби, можно это значение разделить на эту дробь.

Найти число, если известно, что

 его дробь 57 составляет число 15:15 : 57 = 15 · 75 = 153 · 751  = 21

Чтобы найти число по его процентам, можно представить про­центы в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь.

Найти число, если известно, что

 24% этого числа равны 48.24% = 24100;48 : 24100 = 48 · 10024 = 482 · 100241 = 200

Степень числа

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, на­зывают произведение n множителей, каждый из которых равен a :

an=a · a · a ··an

Число a при этом называют основанием степени.

54 = 5 · 5 · 5 · 5;5  основание; 4  показатель степени

Степенью числа a с показателем 1 называют само число a

a1=a
71 = 7

Вторую степень числа называют также квадратом числа. Напри­мер, запись a^2 читают: «a в квадрате».
Третью степень называют кубом числа, а запись a^3 читают: «a в кубе».

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выпол­няют возведение в степень, а затем производят другие действия.

Найти значение выражения

5 · 23 +15 5 ·2 231 +315 = 5 · 8 + 15 = 40 + 15 =55

Числовые и буквенные выражения

Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением.

2 + 3 · 5  7;15 : 5

Запись, составленную из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называют буквенным выражением.

2x  3y + 6;6x

Приведение подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици­енты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

2x + 3x  11x = (2 + 3  11)x =6x

Раскрытие скобок

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, изменить на противоположные.

16  (3x + 6 15y 21) = 16 3x  6 + 15y + 21

Если перед скобками стоит знак « + », то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми в скобках, оставить без изменений.

22 + (3x  10 25y) = 22 + 3x  10 25y

Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
2x  + 5 = 17 | 52x + 5 5 = 17 52x = 12x = 12 : 2x = 6
  • Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обе­им его частям одно и то же число, получим уравнение, тоже не имеющее корней.
0·x = 20 не имеет корней.0·x = 20 | +50 ·x +5 = 20 +50·x0 +5 =255 = 25  неверно, корней нет.
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то по­лучим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
2x  5 = 9x9x+5 +502x 9x = 50 +511x = 55x = 55 : (11)x =5. 
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
x2 + 34 = 6 | ×44 ·  (x2 + 34) = 4 · 64 · x2 + 4 · 34 = 242x + 3 = 242x = 24  32x = 21x = 21  : 2x =10,5


Отношения
  • Частное двух чисел a и b, не равных нулю, еще называют от­ношением чисел a и b, или отношением числа a к числу b.
a : b = ab частное или отношение чисел а и b.a = 5 и b =7:57 частное (отношение) чисел 5 и7
  • Отношение положительных чисел a и b показывает, во сколько раз число a больше числа b, или какую часть число a составляет число b.
a = 10 и b = 2Отношение ab = 102 = 5

показывает, что число 10 в 5 раз больше числа 2 или число 2 в 5 раз меньше числа 10.

  • Отношение не изменится, если его члены умножить или раз­делить на одно и то же число, не равное нулю.
2436  отношение.24 : 1236 : 12  = 23

Пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так:

a : b =c : d или ab = cd

Числа a и d называют крайними членами пропорции, а чис­ла b и c — средними членами пропорции.

Пропорци x : 5 = 8 : 17 или другая записьx5 = 817;x и 17  крайние члены пропорции;5 и 8  средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

ab = cd  ad = bc

Если a, b, c и d числа, не равные нулю, и ad = bc , то отношения

ab  и cd

  могут образовывать пропорцию

ab = cd
Пропорция  23 = 69 Перемножим крест накрест   по основному свойству пропорции  23 = 69Получим  2 · 9 = 3 ·  6. Также можно составить еще 3  верные пропорции:26  = 39;96  = 32;93 = 62

Процентное отношение двух чисел

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Числа 5 и 20.Найдем отношение 5 к 20 и умножим на 100 %:51204  · 100% = 1 · 1002541% = 25%.Значит, число 5  это 25 % от числа 20.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Формула пути S = V · t.S путь, V скорость, t время.Величины S и V, а также S и t прямо пропорциональны.Пусть V = 5 км/ч, t = 2ч.Тогда S = 5 * 2 = 10(км).Если мы увеличим, например, скорость в 5 раз V = 5 · 5 =25(км/ч)Тогда S = 25 · 2 = 50(км).Путь был 10 км, стал 50км, увеличился в 5 раз.

Если величины y и x обратно пропорциональны, то их соответ­ствующие значения удовлетворяют равенству

y = kx

,  где  k -число, постоянное для данных величин.

V  = S tV скорость и t  время обратно пропорцилональны.Чем выше скорость, тем меньше времени требуется на путь. Пусть объект проехал S = 100 км за t =2ч.Тогда V = 1002 =( 50 км/ч).Если же время потребуется 5 ч, то скорость объекта V = 1005 = (20 км/ч)

 

Начало: Основные правила математики с примерами. 6 класс. Часть 1.

Правила и определения опираются  на  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир.  Примеры составлены мной (Косыхина Н.В.)

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *