Основные правила математики 7 класс Алгебра (кратко).

Главная › 7 Класс Алгебра › Основные правила математики 7 класс Алгебра (кратко).

Содержание

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Линейное уравнение
Одночлены и многочлены
Формулы сокращенного умножения
Степень. Свойства степени с целым показателем
Функция. Область определения и область значений функции
Линейная функция, её график и свойства
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства

Корень уравнения

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Свойства уравнений

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

Уравнение вида $ax = b$ , где $x$ — переменная, $a$ и $b$ некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения $a$ и $b$	$a \ne 0$	$a = 0, b = 0$	$a = 0, b \ne 0$
Корни уравнения $ax=b$	$x = \frac{b}{a}$	$x$ -любое число	корней нет

Одночлены и многочлены

Одночлены

Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

$a^2- b^2 = (a - b)(a + b)$

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

$(a - b)(a + b)= a^2- b^2$

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:

$(a - b)^2= a^2 - 2ab + b^2$

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$
Многочлен $a^2 +ab + b^2$ называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Многочлен $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого $a \ne 0$ и любых целых $m, n$ выполняются равенства:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$a^m \div a^n = a^{m - n}$
$(a^m )^n = a^{mn}$

Для любых $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и любого целого $n$ выполняются равенства:

$(ab)^n = a^n b^n$

$(\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}$

$a^{0}=1$

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной пeременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают $x$ , зависимую обозначают $y$ , функцию(правило) — $f$ .
Независимую переменную $x$ называют аргументом функции. Значение зависимой переменной $y$ называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают $y=f(x)$ .
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства

Функцию, которую можно задать формулой вида $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — некоторые числа, $x$ — независимая переменная, называют линейной.
Графиком линейной функции является прямая.
Линейную функцию, заданную формулой $y=kx$ , где $k \ne 0$ , называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
вычислить значение второй переменной;
записать ответ.