Основные правила математики с примерами. 5 класс — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики с примерами. 5 класс

Содержание

Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.

Сравнение натуральных чисел

Число \dpi{100} \large 0 меньше любого натурального числа.

0<1, 0<100

Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр большим является то, у которого количество цифр больше.

43524>9993

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим является то, у которого больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр

3561>3559

Свойства сложения

Переместительный закон:  a + b = b + a

15+10=10+15

Сочетательный закон: (a + b)+c = a+(b +c)

(23+15)+25=23+(15+25)

Формула пути
S=V·t ,где S  пройденный путь, V  скорость движения, t  время, за которое пройден путь S

 

S = 50км,  t = 2ч,  V = 25км/ч

S = Vt,   50км = 25км/ч· 2ч

V = \frac{S}{t},   25км/ч = 50км : 2ч

t = \frac{S}{V},   2ч = 50км : 25км/ч

Корень уравнения

Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.

2·x+10=16
x = 3  корень, так как 2·3+10=16
Что значит «Решить уравнение»

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

Правила решения уравнений
  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
20слагаемое+xслагаемое=100суммаx=10020x=80
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.
xуменьшаемое10вычитаемое=40разностьx=40+10x=50
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
50уменьшаемоеxвычитаемое=40разностьx=5040x=10
  • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.
xмножитель·7множитель=56произведениеx=56:7x=8
  • Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
xделимое:8делитель=9частноеx=9·8x=72
  • Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
42делимое:xделитель=7частноеx=42:7x=6

Отрезок, прямая, луч
Отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)

Свойство длины отрезка

Если на отрезке AC отметить точку B, то длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.

Равные отрезки

Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство прямой

Через две точки проходит только одна прямая.

Измерить отрезок

Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается

Ломаная

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом

Луч

Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

 

Угол, биссектриса угла
Угол

Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

Равные углы

Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.

Свойство величины угла

Если между сторонами угла ∠ABC провести луч BD, то градусная мера  ∠ABC равна сумме градусных мер углов ∠ABD и ∠DBC, то есть ∠ABC = ∠ABD+ ∠DBC.

Биссектриса угла

Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
Развернутый угол

Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.

Прямой угол

Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

Острый угол

Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

Тупой угол

Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

 

Многоугольники. Равные фигуры
Равные многоугольники

Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.

Равные фигуры

Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.

Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

Равносторонний треугольник

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Периметр равностороннего треугольника

Если сторона равностороннего треугольника равна a, то его периметр P вычисляют по формуле P=3a

Разносторонний треугольник

Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.

Прямоугольник. Квадрат. Периметр
Прямоугольник

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

Свойство прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Периметр прямоугольника

Если соседние стороны прямоугольника равны a и b, то его периметр P вычисляют по формуле P=2(a+b)

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

Периметр квадрата

Если сторона квадрата равна a, то его периметр P вычисляют по формуле P=4a.

Умножение. Свойства умножения
Умножение
  • Произведением числа a на натуральное число b, которое не равно 1, называют сумму, состоящую из  b слагаемых, каждый из которых равен a. В равенства  a \cdot b = c  числа a  и b называют множителями,  а число c и запись a \cdot b — произведением.

 

a \cdot b = \underbrace {a + a + \ldots + a}_b
5 \cdot 4 = \underbrace {5 + 5 + 5 + 5}_4
  • Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю.
1 \cdot 25 = 25\quad 25 \cdot 1 = 25
  • Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
0 \cdot 25 = 0\quad 25 \cdot 0 = 0
  • Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
Свойства умножения
  • Переместительный закон умножения: a \cdot b = b \cdot a
6 \cdot 3 = 3 \cdot 6
  • Сочетательный закон умножения: (a \cdot b )c= a( b \cdot c)
(17 \cdot 5) \cdot 2 = 17 \cdot (5 \cdot 2)
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения:  a(b + c)= ab + ac
2·(3+10) = 2·3 + 2·103·11 + 3·4 = 3·(11 + 4)
  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a(b - c)= ab - ac
2·(157) = 2·15  2·73·10  3·4 = 3·(10  4)
Деление. Деление с остатком
Деление

Для натуральных чисел a, b, c равенство a : b = c  является правильным, если является правильным равенство

b \cdot c =  a

15 : 5 = 3 -правильное равенство, так как  равенство 5 · 3 = 15 верное

В равенстве a : b = c   число a называют делимым, число b — делителем, число c и   запись  a : b — частным от деления, отношением, долей.

На ноль делить нельзя.

Для любого натурального числа a правильными являются равенства:

0 : a  = 0,

a : a = 1

Деление с остатком

a=bq+r , где  a— делимое, b— делитель, q — неполное частное, r— остаток, r < b.

154делимое=50делитель · 3неполное частное + 4остаток,    4<50

Если остаток равен нулю, то говорят, что число a делится нацело на число b.

Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
Свойства площади фигуры

Равные фигуры имеют равные площади;

Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, выраженных в одних и тех же единицах.

Площадь квадрата

\dpi{100} \large S=a^{2},

где  S— площадь квадрата, a — длина его стороны.

Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
Свойства объема фигуры

Равные фигуры имеют равные объемы;
Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Объем прямоугольного параллелепипеда
  • \dpi{100} \large V=abc,

где V — объем параллелепипеда, a, b и c — его измерения, выраженные в одних и тех же единицах;

S = 2(ab + ac + bc) , где S — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

  • \dpi{100} \large V=Sh,

где  S— площадь основания параллелепипеда, h— его высота.

Объем куба

\dpi{100} \large V=a^{3},

где  — V объем куба, a — длина его ребра.

 

Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
Правильная дробь

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной

\frac{5} {7},\quad \frac{8} {9}
Неправильная дробь

Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

\frac{{11}} {7},\quad \frac{{27}} {9},\quad \frac{7} {7},\quad \frac{{13}} {{13}}
Сравнение дробей
  • Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше.
\frac{3} {4} > \frac{2} {4},\quad \frac{5} {8} < \frac{7} {8}
  • Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.
\frac{4} {5} > \frac{4} {7},\quad \frac{1} {8} < \frac{1} {5}
  • Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.
\frac{4} {5} < 1,\quad \frac{3} {2} > 1
  • Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.
\frac{7} {5} > \frac{4} {5},\quad \frac{7} {7} > \frac{6} {7}

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  • Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
\frac{3} {7} + \frac{2} {7} = \frac{{3 + 2}} {7} = \frac{5} {7}
  • Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.
\frac{4} {7} - \frac{1} {7} = \frac{{4 - 1}} {7} = \frac{3} {7}

Сложение и вычитание смешанных чисел
  • Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
2\frac{3} {5} + 1\frac{1} {5} = (2 + 1) + (\frac{3} {5} + \frac{1} {5}) = 3 + \frac{4} {5} = 3\frac{4} {5}
  • Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.
4\frac{6} {7} - 1\frac{1} {7} = (4 - 1) + (\frac{6} {7} - \frac{1} {7}) = 3 + \frac{5} {7} = 3\frac{5} {7}

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно

  • числитель разделить на знаменатель;
  • полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.
227= смешанное число? 7322211  227=317      

 

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно

  • целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
  • к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
  • эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
  • в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.
523= неправильная дробь?523=5*3+23=15+23=173

Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
Свойства десятичной дроби

Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.

Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

2,23  = 2,230 = 2,230000005,50000=5,50000=5,5
Сравнение десятичных дробей

Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо

  • с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
  • после чего сравнить полученные дроби поразрядно.
Сравнить 5,03 и 5,0375.5,032=5,03004    и     5,03754  ; 5,0300 < 5,0375.
Округление десятичных дробей

Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо

  • все следующие за этим разрядом цифры отбросить.
  • если при этом первая из цифр, которые отбрасывают равна 0,1, 2, 3, 4, то последнюю из цифр, которые оставляют, не меняют;
  • если же первая из цифр, которые отбрасывют, равна 5, 6, 7, 8, 9, то последнюю из цифр, которые оставляют, увеличивают на единицу.
Округлить 5,248 и 3,952:а) до десятых:5,2485,2; 3,9524,0;б) до сотых:5,2485,25;3,9523,95.

Десятичные дроби: сложение, вычитание
Сложение десятичных дробей

Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно:

  •  уравнять количество цифр после запятых;
  •  записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
  •  сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
  • поставить в полученной сумме запятую под запятыми.
Сложить 2,5 и 3,623.2,5003 и 3,2633;2,500+3,2635,763
Вычитание десятичных дробей

Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:

  •  уравнять количество цифр после запятых;
  • записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
  •  выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа;
  • поставить в полученной разности запятую под запятыми.
Вычесть 3,27 и 3,009.3,2703  и 3,0093;3,2703,0090,261

Десятичные дроби: умножение, деление
Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

  • перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
  • в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
Умножить 1,5 и 2,25.2×2,2511,5+1125225·33,375 количество цифр после запятой

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Умножить 1,235 на 10, 100, 1000.а) на 10:1,235 ×101=12,35б) на 100:1,235 ×1002 = 123,5в) на 1000:1,235 ×10003=1235,0 = 1235

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Умножить 512,3 на 0,1,   0,01 и  0,001.а) на 0,1:512,3 ×0,11=51,23б) на 0,01:512,3 ×0,012=5,123в) на 0,001:512,3 ×0,0013=0,5123
Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

  • перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
  • выполнить деление на натуральное число.
Разделить 24,2 на 0,02.24,2 : 0,02 2= 2420,0 : 2 = 2420 : 2 = 1210.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

 Разделить 25,5 на 10, 100, 1000.а)  на 10:25,5 : 101=2,55;б) на 100:25,5 : 1002=0,255;в)  на 1000:25,5 : 10003=0,0255;

 

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют результат деления сумму этих чисел на количество слагаемых.

Найти среднее арифметическое  чисел 15, 25 и 20.

15+25+20сумма чисел3количество чисел = 603= 20
Примечание:

Задача. Автомобиль 200 км ехал со скоростью 50 км/ч. Затем 120 км он ехал со скоростью 30 км/ч. Найти  среднюю скорость.

Здесь

 Vсредняя =Sобщtобщ .

1) 200 + 120 = 320(км) -весь путь;

2) 200 : 50 = 4(ч) — время, затраченное на 1-ую часть пути;

3) 120 : 30 = 4(ч) — время, затраченное на 2-ую часть пути;

4) 4 + 4 = 8(ч) — все время;

5) 320 : 8 = 40(км/ч) — средняя скорость.

Ответ: 40 км/ч.

Процент

Процентом  называют сотую часть величины или числа 1%= \frac{1}{{100}}

Найти 4% от числа 20.20 : 100 = 0,2  (0,2 это 1% от числа 20);0,2 × 4 =0,8( 0,8искомое число).Или   4% = 4100 = 0,04;0,04 ×20 = 0,8.

Основные правила математики с примерами. 5 класс: 12 комментариев

  1. Камил:

    Спасибо большое! Я решил вспомнить материал по математике и вы мне с этим помогли

  2. Эл:

    Уважаемая Наталья Владимировна! По структуре и подаче материала — это лучшее, что мне удалось найти на просторах интернета. Спасибо вам за труд!

  3. Пожалуйста! Я очень рада, что Вы высоко оценили мой труд.

  4. Амина:

    Спасибо огромное ! У меня завтра впр , и я надеюсь я получу 5 😇💖

  5. вероника:

    Супер!

  6. Арт:

    Очень классно.

  7. Елена:

    отличный материал! спасибо!

  8. Руфина:

    Спасибо большое за ваш труд вы всё понятно и правильно обяснили

  9. Елисей:

    Спасибо у меня скоро контроша надеюсь здам хорошо

  10. Юлия:

    Спасибо!!!! Очень помогли!!!! Материал изложен чётко, кратко и понятно. Супер!!!!

  11. ярослава:

    очень понятно объяснили проценты,дав только одну формулу из 3 ,спасибо.я в жизни эту дебильную матешу не пойму

  12. Ребята, спасибо за классные комментарии )).
    Я рада, что материал оказался полезным.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *