Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра. — Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Содержание

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Корень уравнения
  • Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
  • Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.
2 x  + 6 =36x = 15 корень уравнения, поскольку2 · 15  + 6 =3636 = 36 верное равенство.5x  5x = 100 не имеет корней, посколькуx(5  5)0 = 100  0 = 100   неверно.
Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

2x  5 = 5 равносильно 4x  10 =10,поскольку x = 5 корень и для 1го, и для 2го уравнения.
Свойства уравнений
  • Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2x  5 = 7 +52x  5 + 5 = 7 + 52x = 12x = 12 : 2x = 6
  • Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
2x  5 =+5 72x = 7 + 52x =12x = 12 : 2x =6
  • Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному
12x = 24  : 1212x :12 = 24 : 12x = 2.x5 = 3  · 5x5 · 5  = 3 · 5x = 15

Линейное уравнение

Уравнение вида   ax = b, где x — переменная,  a и b некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Значения a и b \dpi{100} \large a\neq 0 \dpi{100} \large a=0, b=0 \dpi{100} \large a=0, b\neq 0
Корни уравнения ax=b \dpi{100} \large x=\frac{b}{a} x-любое число корней нет
2x = 0, 5y 3 = 12  линейные уравненияx2 4 = 0,  5x = 8 нелинейные уравнения

Одночлены и многочлены
Одночлены
  • Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.
2x,  356x2y,  0,2a20,  b, 15  одночлены.
  • Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.
2x,  356x2y,  0,2a20  одночлены стандартного вида.
  • Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
2x,  356x2y,  0,2a20.2,  356,  0,2 коэффициенты.
  • Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.
2x2y3z ,  15x2y3z,    0,5x2y3z подобные.2x2y3z и  2x2y3  не подобные.
  • Нуль-одночлен степени не имеет.
Многочлены
  • Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.
2x + 3x2y
  • Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.
2x + 3x2y многочлен;2x и  3x2y  его одночлены
  • Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.
 Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения
Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

\dpi{100} \large a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Произведение разности и суммы двух выражений

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\dpi{100} \large (a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:

\dpi{100} \large (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:

\dpi{100} \large (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы

\dpi{100} \large a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

\dpi{100} \large a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

Многочлен a^2 - ab + b^2  называют неполным квадратом разности.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

\dpi{100} \large a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 )

Многочлен a^2 +ab + b^2 называют неполным квадратом суммы.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:

\dpi{100} \large a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2 )

Степень. Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с целым показателем

Для любого a \ne 0 и любых целых m, n выполняются равенства:

\dpi{100} \large a^m \cdot a^n = a^{m + n}

\dpi{100} \large a^m \div a^n = a^{m - n}

\dpi{100} \large (a^m )^n = a^{mn}

Для любых a \ne 0, b \ne 0 и любого целого  n выполняются равенства:

\dpi{100} \large (ab)^n = a^n b^n

\dpi{100} \large (\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}

\dpi{100} \large a^{0}=1

Функция. Область определения и область значений функции
Функция

Правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной пeременной от другой — функциональной.
Обычно независимую переменную обозначают x,  зависимую обозначают  y, функцию(правило) — f.
Независимую переменную x называют аргументом функции. Значение зависимой переменной y  называют значением функции.
Тогда функциональную зависимость обозначают y=f(x).
Значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Способы задания функции

Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Линейная функция, её график и свойства
  • Функцию, которую можно задать формулой вида y=kx+b , где k и  b — некоторые числа, x— независимая переменная, называют линейной.
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Линейную функцию, заданную формулой y=kx, где k \ne 0, называют прямой пропорциональностью.

Системы линейных уравнений с двумя переменными
 Уравнение с двумя переменными

Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

  •  все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
  •  координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:

  • построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
  • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
  • полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
  • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
  • если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

  • выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
  • подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
  • решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
  • подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

  • подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
  • сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
  • решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
  • подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
  • вычислить значение второй переменной;
  • записать ответ.
Данная информация взята  из  УМК  А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *