Главная › 7 Класс Алгебра › Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Основные правила математики с примерами. 7 класс Алгебра.

Содержание

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства
Линейное уравнение
Одночлены и многочлены
Формулы сокращенного умножения
Степень. Свойства степени с целым показателем
Функция. Область определения и область значений функции
Линейная функция, её график и свойства
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки
Решение систем линейных уравнений методом сложения

Уравнения. Равносильные уравнения. Свойства

Корень уравнения

📌Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
📌Решить уравнение означает найти все его корни или убедиться, что их вообще нет. Также можно сказать, что решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Равносильные уравнения

📌Два уравнения называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество корней.

Рассмотрим два уравнения : 2x−5=5 и 4x−10=10
Проверим, равносильны ли они.

Шаг 1: Решим первое уравнение	Шаг 2: Решим второе уравнение
2x−5=5 2x=5+5=10 x=5	4x−10=10 4x=10+10=20 x=5

✅ Оба уравнения имеют один и тот же корень: x=5.
🎯 потому что их решения совпадают

Свойства уравнений

📌Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

📌Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

📌Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному

Линейное уравнение

📌Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейных уравнений

Одночлены и многочлены

Одночлены

📌Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами.

📌Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, а все остальные множители которого — степени с разными основаниями, называют одночленом стандартного вида. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени.

📌Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

📌Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в него. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, считают равной нулю.

💡Нуль-одночлен степени не имеет.

Многочлены

📌Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом.

📌Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

📌Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена.

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение многочлена на многочлен

📌Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов двух выражений

📌Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

$a^2- b^2 = (a - b)(a + b)$

Произведение разности и суммы двух выражений

📌Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

$(a - b)(a + b)= a^2- b^2$

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

📌Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения:
$(a + b)^2= a^2 + 2ab + b^2$

📌Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражении:
$(a - b)^2= a^2 - 2ab + b^2$

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена.

💡Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом.

Сумма и разность кубов двух выражений

📌Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)$

Многочлен $a^2 +ab + b^2$ называют неполным квадратом суммы.

📌Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Многочлен $a^2 - ab + b^2$ называют неполным квадратом разности.

Степень. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с целым показателем

Для любого $a \ne 0$ и любых целых $m, n$ выполняются равенства:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$a^m \div a^n = a^{m - n}$
$(a^m )^n = a^{mn}$

Для любых $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и любого целого $n$ выполняются равенства:

$(ab)^n = a^n b^n$

$(\frac{a} {b})^n = \frac{{a^n }} {{b^n }}$

$a^{0}=1$

Функция. Область определения и область значений функции

Функция

📌 Что такое функция?
Функция — это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной.
Такую зависимость называют функциональной.
🔤 Обозначения:

• Независимую переменную обычно обозначают x — её ещё называют аргументом функции.
• Зависимую переменную обозначают y — её называют значением функции.
• Само правило (функцию) обозначают f .

✅ Формула зависимости:
y=f(x)
Это означает: Значение y зависит от значения x по правилу f

Пусть f(x)=2x+1
Если x=3 , то y=f(3)=2⋅3+1=7
Если x=0 , то y=f(0)=2⋅0+1=1
→ Каждому x соответствует одно значение y .
🎯 Важно помнить:
• x — аргумент (вход),
• y — значение функции (выход),
• f(x) — правило, по которому считается y

📌 Область определения и область значений функции
Область определения функции — это все значения x , которые можно подставить в формулу.
→ То есть: какие x допустимы?
Область значений функции — это все значения y , которые может принимать функция.
→ То есть: какие y получатся?

🔢 Рассмотрим примеры:

✅ Функция: y=2x+5
Подставим любое число: x=1 , x=−3 , x=0,5 — всё работает.
Значит, область определения: все действительные числа (всё, что можно).
При любом x получаем y : от −∞ до +∞ .
Значит, область значений: все действительные числа.
✅ Ответ:
D(y)=R (все числа)
E(y)=R (все числа)

❌ Функция:

На ноль делить нельзя → x=0 нельзя подставить.
Значит, область определения: все действительные числа, кроме 0.
→ D(y)=R∖{0}
Теперь проверим, какие y могут быть:
Если x=1 , то y=2
Если x=2 , то y=1
Если x=−1 , то y=−2
Но y=0 никогда не получится, потому что

=0 — невозможно.
→ Значит, область значений: все действительные числа, кроме 0.
✅ Ответ:
D(y)=R∖{0}
E(y)=R∖{0}

Способы задания функции

📌Описательный, табличный, с помощью формулы, графический.

График функции

📌Графиком функции называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
🎯 Запомни:
График — это все точки сразу, которые соответствуют правилу функции.

Линейная функция, её график и свойства

✅Функцию, которую можно задать формулой вида $y=kx+b$ , где $k$ и $b$ — некоторые числа, $x$ — независимая переменная, называют линейной.
✅Графиком линейной функции является прямая.
✅Линейную функцию, заданную формулой $y=kx$ , где $k \ne 0$ , называют прямой пропорциональностью.

$y=2x-4$ $k=2, b=-4$
$y=-3x$ $k=-3, b=0$

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными

📌Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

📌Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений.

📌Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения.

Если некоторая фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:
✅ все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику;
✅ координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения.

Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:
✅построить в одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
✅найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
✅полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

Решить графически систему:

📌 План решения:
• Построим график первой прямой: y=2x−3
• Построим график второй прямой: y=−x+6
• Найдём точку пересечения — это и будет решение системы.

🔹 Шаг 1: График y=2x−3
Найдём две точки:

X	0	1
Y	-3	-1

Построим точки (0;−3) и (1;−1) , проведём через них прямую.

🔹 Шаг 2: График y=−x+6
Найдём две точки:

X	0	2
Y	6	4

Построим точки (0;6) и (2;4) , проведём через них прямую.

🔹 Шаг 3: Найдём точку пересечения
Находим, где прямые пересекаются.
Можно решить аналитически, чтобы точно определить координаты:
2x−3=−x+6
2x+x=6+3
3x=9
x=3
Подставим в любое уравнение:
y=2⋅3−3=6−3=3
✅ Точка пересечения: (3;3) — это и есть решение системы — единственная точка, которая лежит на обеих прямых.
🎯 Ответ:(3; 3)

📌 Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнении, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:
✅ если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение.
✅ если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решении.
✅ если прямые параллельны, то система решений не имеет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки

📌 Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:

✅ выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую
✅ подставить в уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
✅ решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
✅ подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
✅ вычислить значение второй переменной;
✅ записать ответ.

📌 Решим системы методом подстановки

✅ Шаг 1: Выразим x из первого уравнения
x=4+3y

Выразить переменную — это значит переписать уравнение так, чтобы одна переменная стояла сама по одну сторону от знака =, а всё остальное — по другую

✅ Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение

Подставляем вместо x выражение 4+3y в (2)

2(4+3y)+y=15
✅ Шаг 3: Раскроем скобки и решим уравнение
8+6y+y=15
8+7y=15
7y=15−8
7y=7
y=1
✅ Шаг 4: Найдём x , подставив y=1 в выражение для x
x=4+3y=4+3⋅1=4+3=7
✅ Ответ:x=7,y=1
✅ Проверка:
Подставим в оба уравнения :
x−3y=7−3⋅1=7−3=4 → верно
2x+y=2⋅7+1=14+1=15 → верно
🎯 Ответ: (7;1)

Запишем в виде координаты точки

Решение систем линейных уравнений методом сложения

📌 Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:

✅ подобрать такие множители для уравнений, чтобы после преобразований коэффициенты при одной из переменной стали противоположными числами
✅ сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге
✅ решить уравнение с одной переменной, полученной на втором шаге
✅ подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
✅ вычислить значение второй переменной;
✅ записать ответ.

🔢
Метод сложения — удобный способ решения систем уравнений.
Но важно понимать: не всегда можно сразу складывать.
Иногда нужно вычесть или подобрать коэффициенты.
Рассмотрим три примера — каждый со своим подходом.

✅ Случай 1. Можно сразу сложить

🔹 Шаг 1: Сложим уравнения
(x+y)+(x−y)=6+2
2x=8
x=4
🔹 Шаг 2: Подставим x=4 в первое уравнение
4+y=6
y=2
✅ Ответ: x=4, y=2
💡 Приём:
Здесь противоположные знаки у y : +y и −y .
При сложении они уничтожаются — можно сразу найти x .

✅ Случай 2. Нужно вычесть уравнения

🔹 Шаг 1: Вычтем второе уравнение из первого
(2x+y)−(x+y)=10−7
2x−x+y−y=3
x=3
🔹 Шаг 2: Подставим x=3 во второе уравнение
3+y=7
y=4
✅ Ответ: x=3, y=4
💡 Приём:
Здесь одинаковые слагаемые +y в обоих уравнениях.
Чтобы уничтожить y , нужно вычесть уравнения.

✅ Случай 3 Нужно подобрать коэффициенты

🔹 Шаг 1: Умножим второе уравнение на 2
2⋅(x+y)=2⋅5
2x+2y=10
Теперь система:

🔹 Шаг 2: Вычтем второе уравнение из первого
(3x+2y)−(2x+2y)=16−10
3x−2x+2y−2y=6
x=6
🔹 Шаг 3: Подставим x=6 во второе исходное уравнение
6+y=5
y=−1
✅ Ответ: x=6, y=−1
💡 Приём:
Нельзя сразу сложить или вычесть.
Нужно умножить одно уравнение, чтобы коэффициенты при y стали одинаковыми.
Потом — вычитаем.

🎯 Важно запомнить:

СИСТЕМА	ПРИЕМ	КОГДА ИСПОЛЬЗОВАТЬ
1	Сложение	Противоположные коэффициенты при переменной
2	Вычитание	Одинаковые коэффициенты при переменной
3	Подбор коэффициентов	Нужно сделать коэффициенты равными

🧠 Совет:
Перед решением посмотрите на коэффициенты — это подскажет, что делать:

✅ Сложить,
✅ Вычесть,
✅ Умножить на число.

Данная информация взята из УМК А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир