Основные правила математики. 5 класс. Часть 2

Содержание

Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей

Правильная дробь

📌Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной

Неправильная дробь

📌Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

Сравнение дробей

• 📌Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше.

• 📌Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.

• 📌Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.

• 📌Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

✅Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
✅Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменате­лями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычи­таемого, а знаменатель оставить тот же.

Сложение и вычитание смешанных чисел

• 🎯Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.

• 🎯Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

🎯Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно

• ✅числитель разделить на знаменатель;
• ✅полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

🎯Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно

• ✅целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
• ✅к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
• ✅эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
• ✅в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.

Основное свойство дроби

📌Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной:

📌Если числитель и знаменатель данной дроби разделить на их общий делитель (или на одно и то же натуральное число), то получим дробь, равную данной:

Сокращение дробей

📌Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.

Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой.

— несократимая дробь, так как числа 3 и 8 взаимно простые.

📌Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получим несократимую дробь.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

🎯Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

• ✅найти наименьший общий знаменатель данных дробей;
• ✅найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменатель на знаменатели данных дробей;
• ✅умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее до­полнительный множитель.

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
и 

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю(рабочий способ)

Делаем по шагам:
1️⃣Выберем больший знаменатель. Это число 24. Делим его на меньший знаменатель 18. 24:18=1 (остаток 6) — не делится нацело;
2️⃣Умножаем 24на 2: 24*2=48. Проверяем 48:18 =2 (остаток 12)- не делится нацело.
3️⃣ 24 умножаем на 3: 24*3=72. Проверяем 72:18=4 -делится нацело!
Значит, 72 — это наименьший общий знаменатель.
💡 Важно! Если бы ни одно из произведений не делилось нацело, нужно было бы продолжать умножать 24 на 4, 5, 6 и т.д., пока не получится деление без остатка.
Находим дополнительные множители :
Для первой дроби: 72:24 =3 -дополнительный множитель 3
Для второй дроби: 72:18 =4 -дополнительный множитель 4
✅Приводим дроби к новому знаменателю:

🎯Ответ:

Теперь дроби можно складывать или сравнивать!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

✅Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а потом применить пра­вило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Умножение обыкновенных дробей

📌Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения:

📌Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

📌Чтобы умножить смешанные числа, надо сначала записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Деление обыкновенных дробей

📌Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление

Свойства десятичной дроби

✅Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.
✅Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

Сравнение десятичных дробей

Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

🎯Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо

• ✅с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
• ✅после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Округление десятичных дробей

🎯Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д., надо

• ✅все следующие за этим разрядом цифры отбросить.
• ✅если при этом первая из цифр, которые отбрасывают равна 0,1, 2, 3, 4, то последнюю из цифр, которые оставляют, не меняют;
• ✅если же первая из цифр, которые отбрасывают, равна 5, 6, 7, 8, 9, то последнюю из цифр, которые оставляют, увеличивают на единицу.

Десятичные дроби: сложение, вычитание

Сложение десятичных дробей

🎯Чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно:

•  ✅уравнять количество цифр после запятых;
•  ✅записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
• ✅сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
• ✅поставить в полученной сумме запятую под запятыми.

Вычитание десятичных дробей

🎯Чтобы найти разность двух десятичных дробей, нужно:

• ✅уравнять количество цифр после запятых;
• ✅записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
• ✅выполнить вычитание так, как вычитают натуральные числа;
• ✅поставить в полученной разности запятую под запятыми.

Десятичные дроби: умножение, деление

Умножение десятичных дробей

🎯Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

• ✅перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
• ✅в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.

🎯Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

🎯Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Деление десятичных дробей

🎯Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:

• ✅перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
• ✅выполнить деление на натуральное число.

🎯Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры.

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют результат деления сумму этих чисел на количество слагаемых.

Примечание:

Процент

Процентом  называют сотую часть величины или числа 1%=