Главная › 7 класс Геометрия › Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 7 класс

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 7 класс

Геометрия — одна из самых древних наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры .В переводе с греческого слово геометрия означает землемерие (гео- по-гречески земля, а метрео — мерить)
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию
В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки ,треугольники, прямоугольники.
В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве ,таких ,как параллелепипед ,шар, цилиндр.

Аксиома — это утверждение, которое принимается за истинное и которое не нужно доказывать.

Теоремой называют утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения.

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну

Отрезок, луч

Отрезком называют часть прямой, ограниченную двумя точками(концы отрезка)
Луч — это часть прямой ,имеющая начало, но не имеющая конца. Луч имеет направление.

Угол -это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла.

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.
Любой угол разделяет плоскость на две части(полуплоскости).
Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла.

Если угол развернутый, то любую из двух частей ,на которые он разделяет плоскость ,можно считать внутренней областью угла.
Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла.
Если между сторонами ∠BAC провести луч AD, то градусная мера ∠BAC равна сумме градусных мер ∠BAD и ∠DAC, то есть ∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC. Это свойство называется свойством величины угла.

Равные фигуры, середина отрезка, биссектриса

Равными называют две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры.
Две геометрические фигуры оказываются равными, если их можно совместить наложением.

Серединой отрезка называется точка отрезка, равно удаленная от концов отрезка ,т.е. это точка разбивает исходный отрезок на два равных.
Биссектрисой угла называют луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Единицы измерения отрезков, углов

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторыми отрезками. Выбрав единицу измерения , можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр.
При измерении небольших расстояний, например расстояния между точками, изображенными на листе бумаги ,за единицу измерения принимают сантиметр и миллиметр. Расстояния между отдельными объектами в реальном мире измеряются в метрах, километрах и т.д.
Измерение углов аналогично измерению отрезков. Оно основано на сравнений их с углом, принятым за единицу измерения.
Обычно за единицу измерения углов применяют градус.
Градусной мерой угла называют положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угла.
Часть градуса называется минутой, часть минуты называется секундой.

Равные углы имеют равные градусные меры.
Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Развернутый угол равен 180 градусов.
Неразвернутый угол — меньше 180 градусов
Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов
Угол называется прямым, если он равен 90 градусов.
Острым углом называют, если он меньше 90 градусов.
Тупым углом называют, если он больше 90 градусов.

Смежные и вертикальные углы

Cмежными углами называются два угла, у которого одна сторона общая ,а две другие являются продолжениями сторон друг друга.
Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого

Треугольник

Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков попарно соединяющих их, называется треугольником.
Сумма длин трех сторон треугольника называется периметром.

Медиана, биссектриса, высота треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треугольника ,соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Перпендикуляр ,проведенный из вершины треугольника к прямой ,содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Равнобедренный, равносторонний треугольники

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный

Остроугольный треугольник

Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

Тупоугольный треугольник

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

Три признака равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольник, то такие треугольники равны

Теорема 2. Если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и 2 прилежащим к ней углам другого треугольник, то такие треугольники равны

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы доказать равенство 2 треугольников всегда надо искать 3 пары равных элементов и опираться на признаки равенства👆
Т.е. доказав равенство треугольников по 3 парам равных элементов, делаем вывод, что все оставшиеся соответствующие пары элементов также равны(всего 6 пар: 3 пары сторон и 3 пары углов).

Взаимное расположение прямых:

Если нет общих точек, то прямые параллельны
Есть общая точка, то прямые пересекаются.

Перпендикулярные прямые

Две пресекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
При пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ образуется 8 углов.

Некоторые пары носят названия:

накрест лежащие: ∠3 и ∠5; ∠4 и ∠6;
соответственные: ∠1 и ∠5; ∠4 и ∠7; ∠2 и∠6; ∠3 и∠8
односторонние: ∠4 и ∠5; ∠3 и ∠6.

Также видим смежные углы, например, ∠1 и ∠2 ;∠5 и ∠7 и т.д. И вертикальные, например, ∠5 и ∠8; ∠2 и ∠4 и т.д.

Признаки параллельности прямых

Признаки параллельности прямых — это как понять (признать), что прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны

Свойства параллельных прямых

Свойства параллельных прямых — это то, чем параллельные прямые обладают.

Если 2 параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Если 2 параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Если 2 параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника -угол, лежащий на продолжении одной из сторон треугольника, за пределами треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Напротив большой стороны треугольника лежит большой угол; обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Прямоугольный треугольник

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов позволяет быстро найти третий угол, если известен один из острых углов.

Например, ∠A=15°, то ∠B=90°-∠A=90°-15°=75°

Признаки равенство прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Окружность

Для изображении окружности на чертеже пользуются циркулем.

Окружностью называют геометрическая фигура ,состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от заданной точки.
Отрезок ,соединяющий две точки окружности ,называется хордой
Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.

$D = 2*r$

Формула длины окружности

$C = 2*\pi*r$

Формула площади круга

$S = \pi*r^2$