Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 7 класс

Геометрия — одна из самых древних наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры .В переводе с греческого слово геометрия означает землемерие (гео- по-гречески земля, а метрео — мерить)
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию
В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки ,треугольники, прямоугольники.
В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве ,таких ,как параллелепипед ,шар, цилиндр.
Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну

Взаимное расположение прямых:

• Если нет общих точек, то прямые параллельны
• Есть общая точка, то прямые пересекаются.

Отрезок, луч

Отрезком называют часть прямой, ограниченную двумя точками(концы отрезка)
Луч — это часть прямой ,имеющая начало, но не имеющая конца. Луч имеет направление.
Угол -это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла.
Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.
Любой угол разделяет плоскость на две части(полуплоскости).
Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла.
Если угол развернутый, то любую из двух частей ,на которые он разделяет плоскость ,можно считать внутренней областью угла.
Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри угла, то он делит этот угол на два угла.

Равные фигуры, середина отрезка, биссектриса

Равными называют две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры.
Две геометрические фигуры оказываются равными, если их можно совместить наложением.

Серединой отрезка называется точка отрезка, равно удаленная от концов отрезка ,т.е. это точка разбивает исходный отрезок на два равных.
Биссектрисой угла называют луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Единицы измерения отрезков, углов

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторыми отрезками. Выбрав единицу измерения , можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр.
При измерении небольших расстояний, например расстояния между точками, изображенными на листе бумаги ,за единицу измерения принимают сантиметр и миллиметр. Расстояния между отдельными объектами в реальном мире измеряются в метрах, километрах и т.д.
Измерение углов аналогично измерению отрезков. Оно основано на сравнений их с углом, принятым за единицу измерения.
Обычно за единицу измерения углов применяют градус.
Градусной мерой угла называют положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угла.
Часть градуса называется минутой, часть минуты называется секундой.

• Равные углы имеют равные градусные меры.
• Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
• Развернутый угол равен 180 градусов.
• Неразвернутый угол — меньше 180 градусов
• Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов
• Угол называется прямым, если он равен 90 градусов.
• Острым углом называют, если он меньше 90 градусов.
• Тупым углом называют, если он больше 90 градусов.

Смежные и вертикальные углы

• Cмежными углами называются два угла, у которого одна сторона общая ,а две другие являются продолжениями сторон друг друга.
• Сумма смежных углов равна 180 градусов.
• Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого

Перпендикулярные прямые

Две пресекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Треугольник

• Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков попарно соединяющих их, называется треугольником.
• Сумма длин трех сторон треугольника называется периметром.

Теоремой называют утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения.


Медиана, биссектриса, высота треугольника

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
• Отрезок биссектрисы угла треугольника ,соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
• Перпендикуляр ,проведенный из вершины треугольника к прямой ,содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Равнобедренный, равносторонний треугольники

• Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
• Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Три признака равенства треугольников

• Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольник, то такие треугольники равны
• Теорема 2. Если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и 2 прилежащим к ней углам другого треугольник, то такие треугольники равны
• Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность

Для изображении окружности на чертеже пользуются циркулем.

• Окружностью называют геометрическая фигура ,состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от заданной точки.
• Отрезок ,соединяющий две точки окружности ,называется хордой
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.



• Формула длины окружности



• Формула площади круга