Контрольная работа для поступления в 8 математический класс

1. Вычислите:

$\frac{3\frac{1}{3}\times 1,9 + 19,5:4\frac{1}{2}}{\frac{62}{75}—0,16}$

Решаем по действиям

$$\begin{gathered} 1) 3\frac{1}{3}\times 1,9 + 19,5:4\frac{1}{2}=\frac{\cancel{10}}{3}\times \frac{19}{\cancel{10}}+\frac{{\cancel{195}}^{{\displaystyle \stackrel{13}{\cancel{65}}}}}{\cancel{{10}_{\cancel{2}}}}\times \frac{\cancel{2}}{{\cancel{9}}_3}= \\ =\frac{19}{3}+\frac{13}{3}=\frac{32}{3} \end{gathered}$$

2)

$\frac{62}{75}—0,16=\frac{62}{75}—\frac{{\cancel{16}}^4}{{\cancel{100}}_{25}}=\frac{62}{75}—\frac{4^{\backslash 3}}{25}=\frac{62—12}{75}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}$

3)

$\frac{32}{3}:\frac{2}{3}=\frac{{}_{16}\cancel{32}}{\cancel{3}}\times \frac{\cancel{3}}{\cancel{2}}=16$

 

2. Решите уравнения.

${(\frac{2}{3}x+\frac{3}{4})}^2—14,75 = (\frac{1}{3}x—2)(1\frac{1}{3}x+8)$

Нам понадобится формула

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

и раскрыть скобки «фонтанчиком»

$$\begin{gathered} \frac{4}{9}{x}^2+2\times \frac{2}{3}x\times \frac{3}{4}+\frac{9}{16}—14,75 = \frac{1}{3}x\times \frac{4}{3}x — 2\times \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}x\times 8 — 2\times 8 \\ \frac{4}{9}{x}^2 +x +\frac{9}{16}—14,75=\frac{4}{9}{x}^2—\frac{8}{3}x+\frac{8}{3}x—16 \\ \frac{4}{9}{x}^2—\frac{4}{9}{x}^2 +x=14,75—\frac{9}{16}—16 \\ x = —1\frac{1^{\backslash 4}}{4}—\frac{9}{16} \\ x=—1\frac{13}{16} \end{gathered}$$

3.

$$\begin{gathered} (8{\left(mn\right)}^{4}m{n}^4—11m^3{\left(mn\right)}^2{n}^6):(9n^3{\left(nm\right)}^5—22m^5{n}^8) = \\ (8{m^{4}n}^{4}m{n}^4—11m^3{m^{2}n}^2{n}^6):(9n^3{n^{5}m}^5—22m^5{n}^8) = \\ (8m^5{n}^8—11m^5{n}^8):(9n^8{m}^5 —22m^5{n}^8) =\frac{—3\cancel{m^5}\cancel{n^8}}{—13\cancel{m^5}\cancel{n^8}}=\frac{3}{13} \end{gathered}$$

4. Дано: ΔABC -равнобедренный,

одна сторона длиннее в 1,5 раза, P = 56 см.

Найти: стороны.

Возможны 2 случая.

a)

 

 

Пусть BA = AC = x см. Тогда BC = 1,5x см. Составим уравнение.

x+x+1,5x=56

3,5x=56

x=56:3,5

x= 16.

BA = AC = 16 (см). BC = 1,5*16 = 24(см)

 

б)

 

Пусть  BA = AC = 1,5x см. Тогда BC = x см. Составим уравнение.

1,5x+1,5x+x=56

4x=56

x=14

BA = AC = 1,5*14=21 (см). BC = 14(см)

 

 

 

Ответ: 16см, 16см, 24см и 21см, 21см, 14см

5.

Дано: ΔABC, ∠BOC=∠BOA, AO= OC

Доказать:а) ∠BAC= ∠BCA ,б) AD=DC

Доказательство:

а)1. ΔABO =ΔCOB по 1 признаку равенства треугольников:

∠BOC=∠BOA(по условию),

AO= OC(по условию),

BO — общая. ⇒∠BAO = ∠BCO и AB = BC,  ∠ABO=∠CBO

2. ΔAOC -равнобедренный(AO=OC) ⇒∠OAC = ∠OCA

3. Так как  из пункта 1 ∠BAO = ∠BCO,  из пункта 2 ∠OAC = ∠OCA, то сложим почленно эти равенства

∠BAO + ∠OAC= ∠BCO+ ∠OCA, т.е  ∠BAC= ∠BCA, что и т.д.

б) Из пункта а) 1  AB = BC ⇒  ΔABC -равнобедренный  и BO является биссектрисой, проведенной к основанию AC. Тогда BO является и медианой  ⇒ AD=DC  что и т.д.