Деревни 2

Прототипы заданий из банка ФИПИ «Деревни»

Чтобы увидеть решение, кликните по кнопке «Решение» под каждым пунктом.
Видео с разбором этого задания можно посмотреть в конце страницы или перейдите по ссылке:

Видеоразбор задания

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино
и по шоссе от Жилино до Богданово.
Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч.

	Расстояние, км
от Антоновки до Доломино	12
от Доломино до Егорки	4
от Егорки до Ванютино	12
от Горюново до Ванютино	15
от Ванютино до Жилино	9
от Жилино до Богданово	12

Задание 1.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Деревни	Ванютино	Горюново	Егорка	Жилино
Цифры

Ответ: 4625

Задание 2.

Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Найдем расстояние от Антоновки до Егорки 1-2
(1-2)=(1-3)-(2-3)=12-4=8
Ответ:8

Задание 2.

Найдите расстояние от Горюново до Жилино по шоссе. Ответ дайте в километрах.

Найдем расстояние от Горюново до Жилино 6-5
(6-5)=(6-4)-(5-4)=15-9=6
Ответ:6

Задание 3.

Найдите расстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах.

Искомое расстояние это отрезок на плане 5-2. Пусть расстояние будет x км.

Расстояние от Ванютино в Жилино(5-4) 9 км, от Ванютино до Егорки 12 км(4-2)

Составим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 5-4 и 4-2 и гипотенузой 5-2.

$12^{2} + 9^{2} = x^{2} 144 + 81 = x^{2} 225 = x^{2} x = \pm \sqrt{225} x = \pm 15 x > 0, x = 15$ Ответ: 15

Задание 3.

Найдите расстояние от Антоновки до Горюново по прямой. Ответ дайте в километрах.

Искомое расстояние это отрезок на плане 1-6. Пусть расстояние будет x км.

Расстояние от Ванютино в Антоновку (4-1) найдем следующим образом:

(2-1) = (3-1) -(3-2) = 12-4 = 8 км

(4-1) = (4-2)+(2-1)=12+8 =20 км

Расстояние от Ванютино в Горюново (4-6) 15 км:

Составим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 4-1 и 4-6 и гипотенузой 1-6.

$20^{2} + 15^{2} = x^{2} 400 + 225 = x^{2} 625 = x^{2} x = \pm \sqrt{625} x = \pm 25 x > 0, x = 25$ Ответ: 25

Задание 4.

Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки
в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?

Этот маршрут 1-6-7.
Расстояние 1-6 25 км (смотри задание №3). Это проселочная дорога, они проедут со скоростью 30 км/ч (см условие).
Расстояние 6-7 по шоссе. Скорость по шоссе 50 км/ч.
Найдем расстояние 6-7 следующим образом:
(5-6)=(4-6)-(4-5)=15-9=6
(6-7)=(5-7)-(5-6)=12-6=6
Используем формулу пути S=Vt. Тогда t = S:V
Найдем время как сумму затраченного времени по проселочной дороге и времени, затраченного по шоссе:

t = \frac{25^{5}}{30_{6}} + \frac{6^{3}}{50_{25}} = \frac{5^{\ 25}}{6} + \frac{3^{\ 6}}{25} = \frac{125 + 18}{150} = \frac{143}{150}

Ответ нужно дать в минутах. Для этого время в часах умножим на 60

$\frac{143}{150_{5}} \times \frac{60^{2}}{1} = \frac{143 * 2}{5} = \frac{286}{5} = 57, 2$ Ответ:57,2

Задание 5.

На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданово через Ванютино и путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?

Дорога Антоновка-Ванютино-Богданово или 1-4-7 — это шоссе. Скорость по шоссе 50км/ч по условию .

Дорога Антоновка-Ванютино-Богданово
Расстояние от Антоновки в Ванютино (1-4) найдем следующим образом: (2-1) = (3-1) -(3-2) = 12-4 = 8 км (1-4) = (4-2)+(2-1)=12+8 =20 км
Расстояние от Ванютино до Богданово: (4-7)=(4-5)+(5-7)=9+12=21 км Тогда длина дороги Антоновка-Ванютино-Богданово по шоссе 20+21=41 км
Узнаем какой расход бензина на 41 км по шоссе. Составим пропорцию: $6, 8 л — 100 к м x л — 41 к м 100 x = 6, 8 * 41 100 x = 278, 8 x = 2, 788 л$

Дорога Антоновка-Ванютино-Богданово

Расстояние от Антоновки в Ванютино (1-4) найдем следующим образом:
(2-1) = (3-1) -(3-2) = 12-4 = 8 км
(1-4) = (4-2)+(2-1)=12+8 =20 км

Расстояние от Ванютино до Богданово:
(4-7)=(4-5)+(5-7)=9+12=21 км
Тогда длина дороги Антоновка-Ванютино-Богданово по шоссе 20+21=41 км

Узнаем какой расход бензина на 41 км по шоссе. Составим пропорцию:

$6, 8 л — 100 к м x л — 41 к м 100 x = 6, 8 * 41 100 x = 278, 8 x = 2, 788 л$

Дорога Антоновка-Доломино-Горюново-Богданово или 1-3-6-7. При этом часть дороги 1-3 и 6-7 — это шоссе. Скорость по шоссе 50км/ч. А часть дороги 3-6 — это проселочная дорога. Скорость по ней 30 км/ч

Дорога Антоновка-Доломино-Горюново-Богданово
Расстояние от Антоновки в Доломино 1-3 12 км. Расстояние от Горюново в Богданово 6-7: (5-6)=(4-6)-(4-5)=15-9=6 (6-7)=(5-7)-(5-6)=12-6=6км Итого: 12+6=18 км по шоссе
Узнаем какой расход бензина на 18 км по шоссе. Составим пропорцию: $6, 8 л — 100 к м x л — 18 к м 100 x = 6, 8 * 18 100 x = 122, 4 x = 1, 224 л$
Поскольку на дорогу Антоновка-Ванютино-Богданово и на дорогу Антоновка-Доломино-Горюново-Богданово затрачено одинаковое количество бензина, то найдем сколько пришлось бензина на проселочную дорогу 2,788-1,224=1,564 л
Найдем расстояние от Доломино до Горюново или 3-6. (4-3) =(4-2)-(3-2)=12-4=8 км (4-6) = 15 км. Составим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 4-3 и 4-6 и гипотенузой 3-6. $8^{2} + 15^{2} = x^{2} 64 + 225 = x^{2} 289 = x^{2} x = \pm \sqrt{289} x = \pm 17 x > 0, x = 17$
Узнаем какой расход бензина на 100 км затрачивается по проселочной дороге , если на 17 км уходит 1,564 л. Составим пропорцию: $х л — 100 к м 1, 564 л — 17 к м 17 x = 1, 564 * 100 17 x = 156, 4 x = 9, 2 л$

Ответ: 9,2 л

Задания на сайти ФИПИ перейти на страницу 299

Видео
В видео я использую схему уже с отмеченными названиями пунктов. Но надо понимать, что в подобном задании названия населенных пунктов проставлять придется самостоятельно