Главная › 9 Класс Алгебра › Решение неравенств методом парабол

Решение неравенств методом парабол

📌Решить квадратичное неравенство — значит найти все значения x , при которых выражение $a{x^2} + bx + c$ больше, меньше, больше или равно, меньше или равно нулю;

🔹 1. Что такое квадратичное выражение?
Это выражение вида: $a{x^2} + bx + c$
x — переменная, α,b,c — числа (коэффициенты), a≠0 (иначе это не квадратное).

🔹 2. Что такое неравенство?
Неравенство — это не уравнение, а сравнение: мы хотим узнать, когда выражение больше или меньше нуля, а не когда оно равно нулю.

ЗНАК	НАЗВАНИЕ	ЧТО ОЗНАЧАЕТ
>	Больше	Выражение положительное
<	Меньше	Выражение отрицательное
≥	Больше или равно	Может быть положительным или нулём
≤	Меньше или равно	Может быть отрицательным или нулём

🔹 3. Что значит «решить неравенство»?
Решить неравенство — значит найти все такие значения x , которые делают это неравенство верным.

х²-4x+3>0 — это значит ответить на вопрос «При каких x это выражение положительно?»
-х²+2x≤0 — это значит ответить на вопрос «При каких x оно отрицательное или ноль?»

Рассмотрим подробно все случаи решения квадратных неравенств методом парабол

Алгоритм

1️⃣ когда мы видим квадратичное неравенство, смотрим на старший коэффициент α:

α>0 -ветви направлены вверх
α<0 — ветви направлены вниз

2️⃣ чтобы найти корни, или выяснить, что их нет, решаем квадратное уравнение

3️⃣ рисуем эскиз нашей квадратичной функции.

4️⃣ с учетом знака неравенства выписываем решение неравенства.

📌Рассмотрим неравенства:

$a{x^2} + bx + c>0$
$a{x^2} + bx + c<0$
$a{x^2} + bx + c\ge 0$
$a{x^2} + bx + c\le0$

✅ Случай 1. $a{x^2} + bx + c>0$
Это значит: найти все значения x , при которых выражение $a{x^2} + bx + c$ положительно (то есть выше оси x )
🔹 Шаг 1: Определим направление ветвей параболы
💡Всё зависит от знака коэффициента a :

A	НАПРАВЛЕНИЕ ВЕТВЕЙ
a>0	Ветви вверх (парабола «улыбается»)
a<0	Ветви вниз (парабола «плачет»)

🔹 Шаг 2: Найдём корни уравнения $a{x^2} + bx + c = 0$
— Вычислим дискриминант:
$D= {b^2} -4ac$
— Если

$D>0$ — 2 различных корня
$D=0$ один корень
$D<0$ -корней нет

🔹 Шаг 3: Сделаем эскиз графика
На основе $a$ и $D$ рисуем параболу и определяем, где она выше оси $Ox$
💡Всего 6 возможных вариантов, все они представлены на рисунке ниже.
При решении конкретного Вашего неравенства будет 1 вариант

✅ Все случаи для $a{x^2} + bx + c>0$
Рассмотри на примерах:
🟦 Случай 1: a>0 , D>0 → два корня

${x^2} -4x + 3>0$
$a$ =1 >0 -ветви вверх
$D$ =16-12=4>0 корни
х1 = 1 х2 = 3

Эскиз

Парабола пересекает ось $Ox$ в x1=1 и x2=3
Определяем, при каких х парабола находится выше оси $Ox$ : х<1 и х>3
Ответ: x∈(−∞;1)∪(3;+∞)

✅ Случай 2.

💡

✅ Случай 3

💡

Вот такой получился мегапроект ))