Параграф 3. Задача 14

Дано:

ABCD — параллелограмм,

BE -биссектриса ∠ABC, DF- биссектриса ∠ADC

Доказать:

Прямая FE проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

Доказательство.

Рассмотрим Δ ABE и Δ FCD

AB=CD как противолежащие стороны параллелограмма ABCD.

∠A =∠C как противолежащие углы параллелограмма ABCD.

∠ABE = ∠ ABC, ∠CDF =∠CDA , ∠ABC = ∠CDA. Следовательно, ∠ABE = ∠CDF.

Тогда Δ ABE =Δ FCD по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно,  BE = FD, AE= FC. Получаем: ED = AD — AE = BC-FC = BF

Четырехугольник BFDE —параллелограмм, так как каждые две его противолежащие стороны равны.

Следовательно,  диагонали BD и EF параллелограмма BFDE точкой пересечения делятся пополам. А это точка, являясь серединой отрезка BD, является также точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD