Параграф 3. Задача 16.

На сторонах параллелограмма ABCD отметили точки N, M, K и R  так, что ∠BAK = ∠DCM, BN = DR. Докажите, что четырехугольник FOPE— параллелограмм.

Дано:

ABCD — параллелограмм,

∠BAK = ∠DCM, BN = DR.

Доказать:

FOPE— параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим ΔABK  и ΔMCD

Так как ABCD — параллелограмм AB = CD и  ∠В = ∠D.

По условию ∠BAK = ∠DCM.

Cледовательно, ΔABK  = ΔMCD по второму признаку равенства треугольников

Тогда AK = MC и BK = MD.

Из равенства BK = MD имеем: KC = BC — BK = AD- MD = AM.

Следовательно, четырехугольник AKCM- параллелограмм (каждые две противолежащие стороны равны ).

Тогда AKMC и, следовательно,   FO EP.

Рассмотрим четырехугольник DNBR:

По условию BN = DR.

NBDR, так как ABDC.

Следовательно, четырехугольник DNBR- параллелограмм (две противолежащие стороны равны и параллельны).

Тогда  DNRB и, следовательно,   EF OP.

Имеем, в четырехугольнике DNBR каждые две противолежащие стороны параллельны, следовательно, DNBR — параллелограмм.