Признаки параллелограмма. Теорема 3. Доказательство

Докажите теорему:

Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

На рисунке изображён четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О, причём АО = OC и ВО = OD. Докажем, что четырёхугольник ABCD —параллелограмм. Так как углы ВОС и AOD равны как вертикальные  и AO = OC,  ВО= OD,  то треугольники BOC и AOD  равны по  первому признаку равенства треугольников. Отсюда ВС =AD и ∠1 =∠2. Углы 1 и  2  являются накрест лежащими при прямых ВС и AD секущей AC. Следовательно, ВС ΙΙ AD.
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.