Признаки прямоугольника. Теорема 2. Доказательство

Докажите признак   прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство.

На рисунке изображен прямоугольник ABCD,  диагонали AC и BD которого равны.

Докажем, что параллелограмм  ABCD— прямоугольник.

Рассмотрим ΔABD  и ΔACD. У них AB = CD, BD= AC,  AD— общая сторона.

Cледовательно, ΔABD  и ΔΔACD  равны  по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда ∠BAD = ∠CDA . Эти углы являются односторонними  при параллельных прямых AВ и DC и секущей AD. Cледовательно, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Тогда ∠BAD = ∠CDA  =90°.

Поэтому параллелограмм  ABCD- прямоугольник.